4 - LES SCÉNARIOS D'ÉVOLUTION DES STRUCTURES ÉNERGÉTIQUES JUSQU'EN 2050
95
Sur cette figure on exprime les évolutions démographiques en terme de nombre
de naissances et de décès annuels par habitant. L’évolution de la population N(t)
est donnée par l’équation différentielle :
dN t
dt
f t N t
t N t
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
=
−λ
où f(t) est le taux de natalité et λ(t) le taux de mortalité. Remarquons que l’espérance
de vie est égale à
1
λ ( )
t
. Dans les populations naturelles c’est, en général, le taux de
mortalité qui joue un rôle régulateur du fait de la plus ou moins grande abondance
de nourriture ou de la diffusion des épidémies. Par exemple, si l’on suppose une
dépendance linéaire de λ en fonction de N et un taux de natalité constant
λ
λ
α
( )
( ) ; ( )
t
Nt
ft f
=
+
=
0
0
on trouve que N(t) tend asymptotiquement vers une valeur finie :
N
f
0
0
0
=
− λ
α
Pour des évolutions suffisamment lentes, le taux de natalité peut être relié au
nombre moyen d’enfants par femme ν(t), comme expliqué dans l’appendice II :
f t
t F a t
N t
M
( )
( ) ( , )
( )
=
ν
{1}
où F(a,t) est le nombre de femmes d’âge a et a M est proche de l’âge moyen d’enfantement. L’équilibre démographique est atteint pour
λ
ν
( )
( )
( ) ( , )
( )
t
T t
t F a t
N t
M
=
=
1
On montre dans l’appendice II que T t
N t
N t
( )
( )
( , )
= 0 , où N(0,t) est le nombre de naissances dans l’année. L’équilibre est donc obtenu pour
ν( )
( , )
( , )
t
N t
F a t
M
=
0
Posant une valeur du rapport des sexes α avec F = α N, on obtient ν
α
( )
( , )
(
, )
t
F t
F a t
M
=
0
.
Supposant α = 0,5, il vient ν( )
( , )
(
, )
t
F t
F a t
M
=
2 0 . Le rapport
F a t
F t
M
(
, )
( , )
0
est le pourcentage de
femmes survivantes à l’âge a M . Dans le cas de faible mortalité avant la période
féconde, on voit que ν tend vers 2. Il est remarquable que, dans ce cas, l’équilibre
soit atteint quelle que soit la mortalité, par exemple lorsque celle-ci ne touche que
les femmes après leur période féconde. Au contraire, lorsque les chances pour
qu’un bébé de sexe féminin atteigne l’âge de fécondité sont faibles, l’équilibre
démographique demande une forte valeur de la fécondité. Partant d’une situation
d’équilibre à forte mortalité, donc forte fécondité, on voit que la diminution rapide
de la mortalité se traduira par un déséquilibre démographique conduisant à un
95
Sur cette figure on exprime les évolutions démographiques en terme de nombre
de naissances et de décès annuels par habitant. L’évolution de la population N(t)
est donnée par l’équation différentielle :
dN t
dt
f t N t
t N t
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
=
−λ
où f(t) est le taux de natalité et λ(t) le taux de mortalité. Remarquons que l’espérance
de vie est égale à
1
λ ( )
t
. Dans les populations naturelles c’est, en général, le taux de
mortalité qui joue un rôle régulateur du fait de la plus ou moins grande abondance
de nourriture ou de la diffusion des épidémies. Par exemple, si l’on suppose une
dépendance linéaire de λ en fonction de N et un taux de natalité constant
λ
λ
α
( )
( ) ; ( )
t
Nt
ft f
=
+
=
0
0
on trouve que N(t) tend asymptotiquement vers une valeur finie :
N
f
0
0
0
=
− λ
α
Pour des évolutions suffisamment lentes, le taux de natalité peut être relié au
nombre moyen d’enfants par femme ν(t), comme expliqué dans l’appendice II :
f t
t F a t
N t
M
( )
( ) ( , )
( )
=
ν
{1}
où F(a,t) est le nombre de femmes d’âge a et a M est proche de l’âge moyen d’enfantement. L’équilibre démographique est atteint pour
λ
ν
( )
( )
( ) ( , )
( )
t
T t
t F a t
N t
M
=
=
1
On montre dans l’appendice II que T t
N t
N t
( )
( )
( , )
= 0 , où N(0,t) est le nombre de naissances dans l’année. L’équilibre est donc obtenu pour
ν( )
( , )
( , )
t
N t
F a t
M
=
0
Posant une valeur du rapport des sexes α avec F = α N, on obtient ν
α
( )
( , )
(
, )
t
F t
F a t
M
=
0
.
Supposant α = 0,5, il vient ν( )
( , )
(
, )
t
F t
F a t
M
=
2 0 . Le rapport
F a t
F t
M
(
, )
( , )
0
est le pourcentage de
femmes survivantes à l’âge a M . Dans le cas de faible mortalité avant la période
féconde, on voit que ν tend vers 2. Il est remarquable que, dans ce cas, l’équilibre
soit atteint quelle que soit la mortalité, par exemple lorsque celle-ci ne touche que
les femmes après leur période féconde. Au contraire, lorsque les chances pour
qu’un bébé de sexe féminin atteigne l’âge de fécondité sont faibles, l’équilibre
démographique demande une forte valeur de la fécondité. Partant d’une situation
d’équilibre à forte mortalité, donc forte fécondité, on voit que la diminution rapide
de la mortalité se traduira par un déséquilibre démographique conduisant à un