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Roger BALIAN
∂
∂
=
∇
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
ρ
λ ρ
E
E
t
c
div
{5}
où c est la chaleur spécifique par unité de volume du solide.
TAUX DE DISSIPATION
Le bilan détaillé de l’entropie définit la dissipation. Pour un flux de chaleur, on tire
de {2}, {3}, puis {4} la variation par rapport au temps de la densité d’entropie s(r,t) :
∂
∂
+
= ⋅∇ =
∇
=
∇
( )
s
t
J
J
T T
T
L
S
E
EE
E
div
1
2
2
2
λ
γ
( )
,
{6}
où J S ≡ J E / T est la densité de courant d’entropie. La comparaison avec {4} montre
que l’entropie n’est pas conservative, et que son taux de création par unité de
temps et par unité de volume, ou taux de dissipation, est exprimé par le second
membre de {6}. Les autres processus thermodynamiques contribuent de même
au second membre de {6} à travers les coefficients L.
L’un des principes de la thermodynamique hors d’équilibre est alors exprimé par
l’inégalité de CLAUSIUS-DUHEM, selon laquelle l’expression {6} est en toutes circonstances positive (ou éventuellement nulle). Cette propriété est apparentée au
deuxième principe de la thermodynamique traditionnelle, mais ne coïncide pas
avec lui. Celui-ci, moins détaillé, se réfère en effet seulement à l’état initial et l’état
final, et non au déroulement du processus dans le temps ; en revanche, il est plus
général car il ne suppose pas que le processus soit voisin de l’équilibre. La positivité de {6} implique des inégalités sur les coefficients de réponse L, par exemple
λ > 0. Dans cette équation, le courant J S décrit un transport d’entropie d’un point
à l’autre, il s’y superpose une création d’entropie en chaque point, proportionnelle
au carré des flux ou des affinités. La dissipation totale associée à un processus
est l’intégrale du second membre de {6} sur le volume du système et sur la durée
du processus.
Ce résultat est important pour les applications à l’énergétique. En effet, si le principe de CARNOT établit l’existence d’un rendement maximal pour un processus,
le rendement réel peut être nettement inférieur ; il dépend des phénomènes physiques et des dispositifs utilisés, et aussi du temps τ mis pour réaliser le processus. Pour un système donné, si l’on cherche en un temps τ à transférer d’un soussystème à un autre une grandeur donnée, par exemple en convertissant une certaine quantité d’énergie d’une forme en une autre, les flux doivent être inversement
proportionnels à la durée τ du processus, J ∝ 1/τ. Il en est de même des affinités,
∇γ ∝ 1/τ. Il résulte de {6} que le taux de dissipation est proportionnel à 1/τ
2 , et donc
que la dissipation totale est proportionnelle à 1/τ. Ainsi, plus on cherche à réaliser une action rapidement, plus son irréversibilité est grande ; les transformations
réversibles, ayant le meilleur rendement possible, sont infiniment lentes. L’équation {6} ou d’autres similaires pour d’autres variables i permettent d’estimer le véri-
Roger BALIAN
∂
∂
=
∇
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
ρ
λ ρ
E
E
t
c
div
{5}
où c est la chaleur spécifique par unité de volume du solide.
TAUX DE DISSIPATION
Le bilan détaillé de l’entropie définit la dissipation. Pour un flux de chaleur, on tire
de {2}, {3}, puis {4} la variation par rapport au temps de la densité d’entropie s(r,t) :
∂
∂
+
= ⋅∇ =
∇
=
∇
( )
s
t
J
J
T T
T
L
S
E
EE
E
div
1
2
2
2
λ
γ
( )
,
{6}
où J S ≡ J E / T est la densité de courant d’entropie. La comparaison avec {4} montre
que l’entropie n’est pas conservative, et que son taux de création par unité de
temps et par unité de volume, ou taux de dissipation, est exprimé par le second
membre de {6}. Les autres processus thermodynamiques contribuent de même
au second membre de {6} à travers les coefficients L.
L’un des principes de la thermodynamique hors d’équilibre est alors exprimé par
l’inégalité de CLAUSIUS-DUHEM, selon laquelle l’expression {6} est en toutes circonstances positive (ou éventuellement nulle). Cette propriété est apparentée au
deuxième principe de la thermodynamique traditionnelle, mais ne coïncide pas
avec lui. Celui-ci, moins détaillé, se réfère en effet seulement à l’état initial et l’état
final, et non au déroulement du processus dans le temps ; en revanche, il est plus
général car il ne suppose pas que le processus soit voisin de l’équilibre. La positivité de {6} implique des inégalités sur les coefficients de réponse L, par exemple
λ > 0. Dans cette équation, le courant J S décrit un transport d’entropie d’un point
à l’autre, il s’y superpose une création d’entropie en chaque point, proportionnelle
au carré des flux ou des affinités. La dissipation totale associée à un processus
est l’intégrale du second membre de {6} sur le volume du système et sur la durée
du processus.
Ce résultat est important pour les applications à l’énergétique. En effet, si le principe de CARNOT établit l’existence d’un rendement maximal pour un processus,
le rendement réel peut être nettement inférieur ; il dépend des phénomènes physiques et des dispositifs utilisés, et aussi du temps τ mis pour réaliser le processus. Pour un système donné, si l’on cherche en un temps τ à transférer d’un soussystème à un autre une grandeur donnée, par exemple en convertissant une certaine quantité d’énergie d’une forme en une autre, les flux doivent être inversement
proportionnels à la durée τ du processus, J ∝ 1/τ. Il en est de même des affinités,
∇γ ∝ 1/τ. Il résulte de {6} que le taux de dissipation est proportionnel à 1/τ
2 , et donc
que la dissipation totale est proportionnelle à 1/τ. Ainsi, plus on cherche à réaliser une action rapidement, plus son irréversibilité est grande ; les transformations
réversibles, ayant le meilleur rendement possible, sont infiniment lentes. L’équation {6} ou d’autres similaires pour d’autres variables i permettent d’estimer le véri-