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[B] Développements limités
cos x = 1 −
x 2
2!
+
x 4
4!
−
x 6
6!
+ · · · + (−1)
n x 2n
(2n)!
+ o(x
2n+1 )
ch x = 1 +
x 2
2!
+
x 4
4!
+
x 6
6!
+ · · · +
x 2n
(2n)!
+ o(x
2n+1 )
sin x = x −
x 3
3!
+
x 5
5!
−
x 7
7!
+ · · · + (−1)
n x 2n+1
(2n + 1)!
+ o(x
2n+2 )
sh x = x +
x 3
3!
+
x 5
5!
+
x 7
7!
+ · · · +
x 2n+1
(2n + 1)!
+ o(x
2n+2 )
tan x = x +
x 3
3
+
2
15
x
5 +
17
315
x
7 + o(x
7 )
th x = x −
x 3
3
+
2
15
x
5 −
17
315
x
7 + o(x
7 )
Arccos x =
π
2
− x −
1
2
x 3
3
− · · · −
1 · 3 · 5 · · · (2n − 1)
2 · 4 · 6 · · · 2n
x 2n+1
2n + 1
+
o(x
2n+2 )
Arcsin x = x +
1
2
x 3
3
+ · · · +
1 · 3 · 5 · · · (2n − 1)
2 · 4 · 6 · · · 2n
x 2n+1
2n + 1
+ o(x
2n+2 )
Arctan x = x −
x 3
3
+
x 5
5
−
x 7
7
+ · · · + (−1)
n x 2n+1
(2n + 1)
+ o(x
2n+2 )
Argch x n’est pas défini au voisinage de 0 et n’admet pas de développement limité au voisinage de 1 (tangente verticale).
Argsh = x −
1
2
x 3
3
+
1 · 3
2 · 4
x 5
5
+ · · · + (−1)
n 1 · 3 · 5 · · · (2n−1)
2 · 4 · 6 · · · 2n
x 2n+1
2n+1
+
o(x
2n+2 )
Argth x = x +
x 3
3
+
x 5
5
+ · · · +
x 2n+1
(2n + 1)
+ o(x
2n+2 )