Annexe B
Développements limités
Principaux développements limités
1
1 − x
= 1 + x + x
2 + x
3 + · · · + x
n + o(x
n )
(1+x)
α = 1+αx+
α(α−1)
2!
x
2 +· · ·+
α(α−1) · · · (α−n+1)
n!
x
n + o
x→a
(x
n )
√ 1+x = 1+
1
2
x−
1
2 · 4
x
2 +· · ·+(−1)
n−1 1 · 3 · 5 · · · (2n−3)
2 · 4 · 6 · · · 2n
x
n +o(x
n )
1
√ 1 + x
= 1 −
1
2
x +
1 · 3
2 · 4
x
2 + · · · + (−1)
n 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1)
2 · 4 · 6 · · · 2n
x
n +
o(x
n )
ln(1 + x) = x −
x 2
2
+
x 3
3
−
x 4
4
+ · · · + (−1)
n+1 x n
n
+ o(x
n )
ln(1 − x) = −x −
x 2
2
−
x 3
3
−
x 4
4
− · · · −
x n
n
+ o(x
n )
ln(a + x) = ln a +
x
a
−
x 2
2a 2 +
x 3
3a 3 + · · · + (−1)
n+1 x n
a n + o(x
n )
e
x = 1 + x +
x 2
2!
+
x 3
3!
+ · · · +
x n
n!
+ o(x
n )
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.