2. Si T n'est pas surjective son image est un sous-espace vectoriel de K p de dimension strictement inférieure à p. Pour construire un hyperplan, c'est-à-dire un sousespace vectoriel de K p de dimension p − 1, qui la contienne, on peut utiliser le
théorème de la base incomplète : en complétant une base de Im(T ) en une base
de E, il suffit d'enlever le dernier vecteur de la base pour obtenir une famille qui
engendre un sous-espace vectoriel de dimension p − 1. Il reste bien sûr, pour être
rigoureux, à distinguer le cas T = 0 car alors Im(T ) = {0} n'a pas de base...
Supposons que T n'est pas surjective.
• Si T = 0 alors Im(T ) = {0} et n'importe quel hyperplan de K p contient
Im(T ).
• Si T = / 0, Im(T ) = / {0}. Soit r = dim(Im(T )) et (u 1 ,. . . ,u r ) une base
de Im(T ).
(u 1 ,. . . ,u r ) est en particulier une famille libre de K p . Comme r < p ce
n'est pas une base de K p mais elle peut être complétée en une base de K p :
il existe des vecteurs u r+1 ,. . . ,u p de K p tels que (u 1 ,. . . ,u p ) est une base
de K p .
On ne peut dire simplement « (u 1 ,. . . ,u r ) est une famille libre de K p donc il
existe des vecteurs u r+1 ,. . . ,u p de K p tels que (u 1 ,. . . ,u p ) est une base de K p ».
En effet, si r = p, de tels vecteurs n'existent pas car (u 1 ,. . . ,u r ) serait déjà une
base de K p . Il y a donc encore une fois un cas particulier à distinguer.
Soit H = Vect(u 1 ,. . . ,u p−1 ). La famille (u 1 ,. . . ,u p−1 ) engendre H par
définition et est libre car c'est une sous-famille d'une base de K p . Ainsi,
(u 1 ,. . . ,u p−1 ) est une base de H qui est donc de dimension p − 1 : H est
un hyperplan de K p .
Par ailleurs, comme T n'est pas surjective, r < p ; ainsi, u 1 ,. . . ,u r sont des
éléments de H et on a donc Vect(u 1 ,. . . ,u r ) ⊂ H, soit Im(T ) ⊂ H.
Dans ce dernier argument, nous avons bien utilisé le fait que r < p : si r et p était
égaux, le vecteur u p serait élément de Im(T ) mais pas de H. L'image de T ne
serait alors pas contenue dans H.
Nous pouvons maintenant introduire une équation de l'hyperplan H.
H étant un hyperplan de K p il existe des scalaires a 1 ,. . . ,a p , non tous nuls,
tels que
H = {(x 1 ,. . . ,x p ) ∈ K
p : a 1 x 1 + · · · + a p x p = 0}.
En particulier, comme Im(T ) ⊂ H :
∀x ∈ E,a 1 ϕ 1 (x) + · · · + a p ϕ p (x) = 0
54
Chapitre 2 • Algèbre linéaire
théorème de la base incomplète : en complétant une base de Im(T ) en une base
de E, il suffit d'enlever le dernier vecteur de la base pour obtenir une famille qui
engendre un sous-espace vectoriel de dimension p − 1. Il reste bien sûr, pour être
rigoureux, à distinguer le cas T = 0 car alors Im(T ) = {0} n'a pas de base...
Supposons que T n'est pas surjective.
• Si T = 0 alors Im(T ) = {0} et n'importe quel hyperplan de K p contient
Im(T ).
• Si T = / 0, Im(T ) = / {0}. Soit r = dim(Im(T )) et (u 1 ,. . . ,u r ) une base
de Im(T ).
(u 1 ,. . . ,u r ) est en particulier une famille libre de K p . Comme r < p ce
n'est pas une base de K p mais elle peut être complétée en une base de K p :
il existe des vecteurs u r+1 ,. . . ,u p de K p tels que (u 1 ,. . . ,u p ) est une base
de K p .
On ne peut dire simplement « (u 1 ,. . . ,u r ) est une famille libre de K p donc il
existe des vecteurs u r+1 ,. . . ,u p de K p tels que (u 1 ,. . . ,u p ) est une base de K p ».
En effet, si r = p, de tels vecteurs n'existent pas car (u 1 ,. . . ,u r ) serait déjà une
base de K p . Il y a donc encore une fois un cas particulier à distinguer.
Soit H = Vect(u 1 ,. . . ,u p−1 ). La famille (u 1 ,. . . ,u p−1 ) engendre H par
définition et est libre car c'est une sous-famille d'une base de K p . Ainsi,
(u 1 ,. . . ,u p−1 ) est une base de H qui est donc de dimension p − 1 : H est
un hyperplan de K p .
Par ailleurs, comme T n'est pas surjective, r < p ; ainsi, u 1 ,. . . ,u r sont des
éléments de H et on a donc Vect(u 1 ,. . . ,u r ) ⊂ H, soit Im(T ) ⊂ H.
Dans ce dernier argument, nous avons bien utilisé le fait que r < p : si r et p était
égaux, le vecteur u p serait élément de Im(T ) mais pas de H. L'image de T ne
serait alors pas contenue dans H.
Nous pouvons maintenant introduire une équation de l'hyperplan H.
H étant un hyperplan de K p il existe des scalaires a 1 ,. . . ,a p , non tous nuls,
tels que
H = {(x 1 ,. . . ,x p ) ∈ K
p : a 1 x 1 + · · · + a p x p = 0}.
En particulier, comme Im(T ) ⊂ H :
∀x ∈ E,a 1 ϕ 1 (x) + · · · + a p ϕ p (x) = 0
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Chapitre 2 • Algèbre linéaire