Soit R =
1 0
0 Q
∈ M n+1 (K ). R est inversible d'inverse
1
0
0 Q −1
.
Par ailleurs,
(P R)
−1 M(P R) = R
−1





0
L
1
0
. . .
N
0





R =
0
?
? Q −1 N Q
.
Ainsi, (P R) −1 M(P R) est une matrice semblable à M dont tous les coefficients diagonaux sont nuls. La propriété est donc démontrée par récurrence.
Dans la dernière égalité, nous n'avons pas pris la peine d'expliciter tous les blocs de
la matrice : en effet, seuls les blocs diagonaux nous intéressaient ici.
Exercice 2.11 : Formes linéaires et base antéduale
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie non nulle n. Soient p ∈ N ∗ et
ϕ 1 ,. . . ,ϕ p des formes linéaires sur E. On considère l'application T : E → K p
définie par T (x) = (ϕ 1 (x),. . . ,ϕ p (x)).
1. Montrer que T est linéaire.
2. On suppose que T n'est pas surjective. Montrer que (ϕ 1 ,. . . ,ϕ p ) est liée. On
pourra pour cela montrer qu'il existe un hyperplan de K p contenant Im(T ).
3. On suppose que T est surjective. Montrer que (ϕ 1 ,. . . ,ϕ p ) est libre.
4. Montrer que T est bijective si, et seulement si, (ϕ 1 ,. . . ,ϕ p ) est une base de E ∗ .
5. Montrer que, si (ϕ 1 ,. . . ,ϕ n ) est une base de E ∗ , il existe une base (e 1 ,. . . ,e n )
de E telle que
∀(i, j) ∈ {1,. . . ,n}
2
,ϕ i (e j ) = δ i j .
((e 1 ,. . . ,e n ) est appelée base antéduale de (ϕ 1 ,. . . ,ϕ n ))
1. La vérification de la linéarité est souvent une question de routine.
Soient (x,y) ∈ E 2 et (λ,µ) ∈ K 2 . On a successivement :
T (λ x + µ y) = (ϕ 1 (λ x + µ y),. . . ,ϕ p (λ x + µ y))
= (λ ϕ 1 (x) + µ ϕ 1 (y),. . . ,λ ϕ p (x) + µ ϕ p (y))
car les ϕ k sont linéaires. On a alors :
T (λ x + µ y) = λ (ϕ 1 (x),. . . ,ϕ p (x)) + µ (ϕ 1 (x),. . . ,ϕ p (x))
= λ T (x) + µ T (y).
Ainsi, T est linéaire.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 2 • Algèbre linéaire