1. Cette question est un simple calcul de produits matriciels.
On a successivement :
A − I 3 =
−4 −2 0
6
2 1
4
0 2
.
(A − I 3 )
2
=
4
4 −2
−8 −8 4
−8 −8 4
.
(A − I 3 )
3
= 0.
Au vu de cette dernière relation on a donc
(A − I 3 )
n
= 0 pour n 3.
2.a. D'une manière générale, si g et h sont deux endomorphismes d'un espace vectoriel, on a toujours Ker(h) ⊂ Ker(g ◦ h) : en effet, si h(x) = 0, alors
(g ◦ h)(x) = g(h(x)) = g(0) = 0 .
On a les inclusions :
Ker( f − Id) ⊂ Ker(( f − Id)
2
) ⊂ Ker(( f − Id)
3
) = R
3
.
Le théorème du rang permet de faire le lien entre la dimension de Ker(( f − Id) k )
et rg(( f − Id) k ) = rg((A − I 3 ) k ) .
Pour calculer le rang, on dispose d'une méthode générale consistant à effectuer des
opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes (car ces opérations ne changent pas le rang). Cependant, on peut aussi parfois identifier le rang immédiatement: c'est ici le cas de (A − I 3 ) 3 , qui est nulle donc de rang nul, et (A − I 3 ) 2 , dont
toutes les colonnes sont colinéaires.
• Comme (A − I 3 ) 3 = 0, ( f − Id) 3 = 0 et donc Ker(( f − Id) 3 ) = R 3 .
Ainsi, dim(E 3 ) = 3.
• Les colonnes de la matrice (A − I 3 ) 2 sont colinéaires ; ainsi,
rg((A − I 3 ) 2 ) 1.
Par ailleurs (A − I 3 ) 2 = / 0 donc rg((A − I 3 ) 2 ) = / 0.
Ainsi, rg(( f − Id) 2 ) = 1 donc, d'après le théorème du rang,
dim(Ker(( f − Id) 2 )) = 2 .
• La matrice A − I 3 n'est pas nulle et possède deux colonnes non colinéaires : son rang est donc au moins 2.
Si son rang était 3, elle serait inversible et donc toutes ses puissance également, en particulier (A − I 3 ) 3 , qui est nulle. Ainsi, A − I 3 n'est pas inversible, donc son rang est 2. On en déduit dim(Ker( f − Id)) = 1 .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
43
Chapitre 2 • Algèbre linéaire
On a successivement :
A − I 3 =
−4 −2 0
6
2 1
4
0 2
.
(A − I 3 )
2
=
4
4 −2
−8 −8 4
−8 −8 4
.
(A − I 3 )
3
= 0.
Au vu de cette dernière relation on a donc
(A − I 3 )
n
= 0 pour n 3.
2.a. D'une manière générale, si g et h sont deux endomorphismes d'un espace vectoriel, on a toujours Ker(h) ⊂ Ker(g ◦ h) : en effet, si h(x) = 0, alors
(g ◦ h)(x) = g(h(x)) = g(0) = 0 .
On a les inclusions :
Ker( f − Id) ⊂ Ker(( f − Id)
2
) ⊂ Ker(( f − Id)
3
) = R
3
.
Le théorème du rang permet de faire le lien entre la dimension de Ker(( f − Id) k )
et rg(( f − Id) k ) = rg((A − I 3 ) k ) .
Pour calculer le rang, on dispose d'une méthode générale consistant à effectuer des
opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes (car ces opérations ne changent pas le rang). Cependant, on peut aussi parfois identifier le rang immédiatement: c'est ici le cas de (A − I 3 ) 3 , qui est nulle donc de rang nul, et (A − I 3 ) 2 , dont
toutes les colonnes sont colinéaires.
• Comme (A − I 3 ) 3 = 0, ( f − Id) 3 = 0 et donc Ker(( f − Id) 3 ) = R 3 .
Ainsi, dim(E 3 ) = 3.
• Les colonnes de la matrice (A − I 3 ) 2 sont colinéaires ; ainsi,
rg((A − I 3 ) 2 ) 1.
Par ailleurs (A − I 3 ) 2 = / 0 donc rg((A − I 3 ) 2 ) = / 0.
Ainsi, rg(( f − Id) 2 ) = 1 donc, d'après le théorème du rang,
dim(Ker(( f − Id) 2 )) = 2 .
• La matrice A − I 3 n'est pas nulle et possède deux colonnes non colinéaires : son rang est donc au moins 2.
Si son rang était 3, elle serait inversible et donc toutes ses puissance également, en particulier (A − I 3 ) 3 , qui est nulle. Ainsi, A − I 3 n'est pas inversible, donc son rang est 2. On en déduit dim(Ker( f − Id)) = 1 .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 2 • Algèbre linéaire