On a donc :
P
−1
=


2
1
1
1/5 −2/5 0
2/5 1/5 0

 .
Il n'y a aucun calcul à faire pour déterminer P −1 AP. En effet, ce n'est autre que la
matrice de f dans la base (u 1 ,u 2 ,u 3 ).
Comme f (u 1 ) = 2 u 1 , f (u 2 ) = 2 u 2 et f (u 3 ) = 7 u 3 nous obtenons, sans
calcul supplémentaire :
P
−1 AP =


2 0 0
0 2 0
0 0 7

 .
Connaître a priori la dimension d'un sous-espace vectoriel est extrêmement pratique pour en déterminer une base, surtout en petite dimension, comme on vient
de le voir : si la dimension est 1 il suffit de trouver un vecteur non nul, si elle est 2
il suffit de trouver deux vecteurs non colinéaires.
Par ailleurs la dimension d'un sous-espace propre peut se calculer aisément à l'aide du théorème du rang via le calcul du rang d'une matrice.
Enfin, ne pas oublier que parfois la dimension du dernier sous-espace propre peut
se déduire des dimensions des autres sous-espaces propres, comme nous l'avons
vu ici pour le sous-espace propre associé à 7.
Exercice 2.7 : Trigonalisation
Soit la matrice :
A =


−3 −2 0
6
3 1
4
0 3

 ∈ M 3 (R).
On note f l'endomorphisme de R 3 canoniquement associé à A.
1. Calculer les puissances de A − I 3 .
2. Pour k ∈ {1,2,3} on pose E k = Ker(( f − Id) k ).
2.a. Démontrer que dim(E k ) = k.
2.b. En déduire une base (u 1 ,u 2 ,u 3 ) de E 3 telle que (u 1 ) est une base de E 1 et
(u 1 ,u 2 ) est une base de E 2 .
3. Déterminer une matrice B triangulaire supérieure et semblable à A ainsi que
les matrices de passage correspondantes.
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Chapitre 2 • Algèbre linéaire