SOMMAIRE
15. LES SÉRIES DEFOURIER
229
1. Petit aperçu historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Orthogonalité des fonctions sinus et cosinus sur une période.. . . .
3. Série de Fourier associée à une fonction périodique . . . . . . . . . . .
4. Conditions d’égalité de f(z) et de la série de Fourier associée . . .
5. Quelques propriétés remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Approximation des fonctions par une série de Fourier tronquée..
7. Cas où la fonction est discontinue à l’origine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8. Le phénomène de Gibbs (1839-1903) et l’epsilon-algorithme . . . .
9. Représentation des séries de Fourier avec un terme de phase . . . .
10. Écriture du développement sous forme complexe.. . . . . . . . . . . . . .
11. Approximation des fonctions au sens de Tchebycheff . . . . . . . . . . . .
12. Application des séries de Fourier au filtrage numérique.. . . . . . . .
13. À propos du développement des fonctions non périodiques.. . . . . .
14. Calcul des séries de Fourier à coefficients approchés dans L2 . .
15. Éléments de bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
. .
. . . 229
. . . 231
. . . 232
. . . 233
. . . 234
. . . 235
. . 238
. . . 238
. . . 241
. . . 241
. . . 242
. . . 244
. . . 246
. . . 246
. . . 247
16.
LESTRANSFORMÉESDEFOURIER
249
1. Extension des séries de Fourier au cas où la période est infinie .......................... 249
2. Conditions d’existence des transformées de Fourier dans les espaces L1 et L2 .......... 252
3. La transformée de Fourier dans l’espace L1 ................................................ 253
4. Les transformées de Fourier dans l’espace L2 .............................................. 255
5. Produit de convolution dans les espaces L1 ou L2 ........................................ 256
6. Sur le calcul numérique des transformées de Fourier ...................................... 260
7. Cas des fonctions échantillonnées ...........................................................
260
8. Calcul par un algorithme ordinaire .........................................................
261
9. L’algorithme de Cooley-Tukey (1915- ) .................................................... 262
10. Programmes de calcul des transformées de Fourier ....................................... 266
11. Un problème fondamental : quelle doit être la période d’échantillonnage
de la fonction f(z)? .........................................................................
267
12. La distribution de Dirac (190221984) ...................................................... 269
13. Transformées de Fourier multidimensionnelles. ............................................ 271
14. Éléments de bibliographie ...................................................................
272
17. INITIATION AUX PROBLÈMES MAL POSÉS:
ÉQUATIONS INTÉGRALE~,SYSTÈMES
LINÉAIRES MAL CONDITIONNÉS
ETÉQUATIONSDECONVOLUTI~N
273
1. Un exemple de problème mal posé :
le calcul des séries de Fourier à coefficients approchés dans L2 .......................... 273
2. L’équation intégrale de Fredholm (186661927) de première espèce ...................... 274
3. Notion de problèmes bien et mal posés .................................................... 276
4. Méthode de régularisation. ..................................................................
276
5. Application à la résolution approchée des équations intégrales
de Fredholm de première espèce ............................................................
280
6. Résolution d’un système linéaire mal conditionné ......................................... 282
7. Résolution des équations de convolution ................................................... 283
8. Bibliographie .................................................................................
285
11
15. LES SÉRIES DEFOURIER
229
1. Petit aperçu historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Orthogonalité des fonctions sinus et cosinus sur une période.. . . .
3. Série de Fourier associée à une fonction périodique . . . . . . . . . . .
4. Conditions d’égalité de f(z) et de la série de Fourier associée . . .
5. Quelques propriétés remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Approximation des fonctions par une série de Fourier tronquée..
7. Cas où la fonction est discontinue à l’origine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8. Le phénomène de Gibbs (1839-1903) et l’epsilon-algorithme . . . .
9. Représentation des séries de Fourier avec un terme de phase . . . .
10. Écriture du développement sous forme complexe.. . . . . . . . . . . . . .
11. Approximation des fonctions au sens de Tchebycheff . . . . . . . . . . . .
12. Application des séries de Fourier au filtrage numérique.. . . . . . . .
13. À propos du développement des fonctions non périodiques.. . . . . .
14. Calcul des séries de Fourier à coefficients approchés dans L2 . .
15. Éléments de bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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. . . 246
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16.
LESTRANSFORMÉESDEFOURIER
249
1. Extension des séries de Fourier au cas où la période est infinie .......................... 249
2. Conditions d’existence des transformées de Fourier dans les espaces L1 et L2 .......... 252
3. La transformée de Fourier dans l’espace L1 ................................................ 253
4. Les transformées de Fourier dans l’espace L2 .............................................. 255
5. Produit de convolution dans les espaces L1 ou L2 ........................................ 256
6. Sur le calcul numérique des transformées de Fourier ...................................... 260
7. Cas des fonctions échantillonnées ...........................................................
260
8. Calcul par un algorithme ordinaire .........................................................
261
9. L’algorithme de Cooley-Tukey (1915- ) .................................................... 262
10. Programmes de calcul des transformées de Fourier ....................................... 266
11. Un problème fondamental : quelle doit être la période d’échantillonnage
de la fonction f(z)? .........................................................................
267
12. La distribution de Dirac (190221984) ...................................................... 269
13. Transformées de Fourier multidimensionnelles. ............................................ 271
14. Éléments de bibliographie ...................................................................
272
17. INITIATION AUX PROBLÈMES MAL POSÉS:
ÉQUATIONS INTÉGRALE~,SYSTÈMES
LINÉAIRES MAL CONDITIONNÉS
ETÉQUATIONSDECONVOLUTI~N
273
1. Un exemple de problème mal posé :
le calcul des séries de Fourier à coefficients approchés dans L2 .......................... 273
2. L’équation intégrale de Fredholm (186661927) de première espèce ...................... 274
3. Notion de problèmes bien et mal posés .................................................... 276
4. Méthode de régularisation. ..................................................................
276
5. Application à la résolution approchée des équations intégrales
de Fredholm de première espèce ............................................................
280
6. Résolution d’un système linéaire mal conditionné ......................................... 282
7. Résolution des équations de convolution ................................................... 283
8. Bibliographie .................................................................................
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