MANUEL DE CALCUL NUMÉRIQUE APPLIQUÉ
système que l’on résoudra par la méthode de Newton ou de Kacmarz, de toute façon au moyen
d’itérations. Si ue et vo constituent une première approximation, la méthode de Newton nous
permet de calculer les corrections du et dv qu’il convient d’apporter, soit :
&!!-A!E
du = a’ D “’
;I--BE!
du = du D h,
dA dB 8A i3B
avec D = - - - - - .
du du
du du
les fonctions étant calculées au point (uo, 210).
Nous serons effectivement capable de calculer du et dw dans la mesure où nous serons
capable d’exprimer A et B ainsi que leurs dérivées partielles et c’est sous cet aspect que nous
allons envisager les calculs. Explicitons le polynôme &,-a(~) :
Qn-z(x) = box n-2 + b1C3 + . . + b,pz.
Par identification de P,(z) et de T(z)Qn-2(z) + Az + B on obtient les relations de récurrence
suivantes :
bo
=a0
bl
= a1 - ubo
b2
= a2 - ubl - wbo
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
~;““‘~
aj - ubj-l- d-2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b,-2 = an-2 - ub,-3 - ub,-g
A
= u,-~ - ub,-2 - vb,-3
B
= a, - vbnp2
À présent nous savons calculer A et B en fonction des coefficients du polynôme P,(s) et des
paramètres u et U. Calculons maintenant les dérivées partielles de A et B par rapport à u et ‘u
lesquels sont - rappelons-le - des paramètres indépendants. Pour ce faire, dérivons la forme
générale de la relation de récurrence par rapport à u :
et posons
i3bj
cj-1 = -
dU
nous obtenons ainsi la relation de récurrence suivante :
cjpl = -b,pl - ucje2 - UC~-~.
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