MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉR~QUEAPPLIQUÉ
coordonnées (ICI, yr). Ensuite, on projette le point Al sur la droite Dz ce qui nous donnera le
point AZ. On poursuit en projetant le point A2 sur la droite Dl et ainsi de suite jusqu’à ce que
l’on obtienne la précision désirée. À présent écrivons les coordonnées de la suite des points ainsi
formée. Nous avons :
alR1
Xl = x0 - ~
a: + bl
hR1
Y1 = Y0 - ~
a: + b’ f
avec R1 = allco + blyo + cl.
Le point (21, yr) est projeté sur la droite Dz, à partir duquel on calcule le point (52, ya) :
ad%
x2 = Xl - ~
aa + b$
b&
Y2 = Y1 - ~
aa + bg
avec R2 = a2x1 + b2yl + cg,
et ainsi de suite. Il est possible de montrer que cette méthode est toujours convergente mais
qu’elle est seulement à convergence linéaire. L’intérêt de cette méthode repose avant tout sur le
fait qu’elle est transposable aux équations non linéaires.
Application au cas des équations non linéaires - Le système des équations linéarisées que
nous avons obtenu au paragraphe traitant de la méthode de Newton sera simplement résolu par
la méthode de Kacmarz. Nous avions :
8.f
a.f
f(xo,~o) + dxo- + dya- = 0
dX
dY
%l
dxo, YO) + dxog + dyo- = o.
dY
Si l’on pose :
a1 = af
dX
ag
a2 = -
dX
b =af
1
ac/
b2 zz -
dY
RI = f(x>~)
R2 = dz, YY),
on obtient les suites des xk et des yk données par les expressions :
Yk = yk-1 - ~
cif + bl
62