MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
que limk+oo xk+i = limg(xk) = x* = g(x*). Mam enant
. t
il nous faut examiner quelles sont les
conditions qui assurent la convergence des xk.
À la suite des xk associons la série des uk définie ainsi :
u n = xn - G-1
avec uo = x0.
On peut d’ores et déjà remarquer que la convergence de la série un entraîne celle de la suite x,
et que la suite x, et la série associée un. admettent la même limite x*. En effet si nous appelons
S, la somme des (p + 1) termes de la série, nous avons :
sp&u~=xp,
k=O
ce qui démontre la dernière proposition.
Développons le terme général Uk de la série :
uk = xk - xk-1 = g(xk-1) - g(xk-2)
Appliquons le théorème de Rolle à la dernière expression, cela donne :
uk =
g(xk-1) - g(sk-2) =
(xk-1 - xk-2)&)
avec [ compris dans l’intervalle (X&i - xk-2). En utilisant la relation de définition de la série,
nous pouvons écrire :
uk = uk-d(t).
La règle de d’Alembert (1717-1783) va nous donner la condition de convergence de la série uk :
On en déduit que l’algorithme converge lorsque la condition lg’(t)l < 1 est vérifiée dans tout
le domaine voisin de la racine dans lequel on effectue les itérations.
1.4. Généralisation de la méthode
Au cas où lg’(<)i > 1, la suite des itérations est divergente. Pour pallier cet inconvénient, au
lieu d’ajouter x aux deux membres de l’équation f(x) = 0, il suffit d’ajouter mx et de choisir
convenablement m pour que la convergence soit assurée. Nous pouvons écrire : f(x) +mx = mx,
puis l’on pose f(x) + mx = g(x) ; d’où la nouvelle suite des X ~ C :
xk = dxk-l) ~.
m
La condition de convergence de la suite des xk est :
,
soit encore : - 1 <
f'(x) + m < +1
m
Il est toujours possible de choisir m positif ou négatif, de taille suffisante, pour assurer cette
double inégalité à condition que la dérivée soit bornée et que f(x*) # f’(x*) si x* est une racine.
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