MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
le degré ne dépasse pas la dizaine. Nous examinerons en détail cette méthode dans l’annexe A.
La localisation préliminaire des racines peut être plus difficile qu’il n’y paraît en première
analyse notamment lorsque f(x) présente des extremums au voisinage de l’axe des 2 et
cela sans préjuger qu’il y ait des racines ou non. Ces valeurs approchées des racines vont
servir de point de départ à tout un ensemble de méthodes, le plus souvent itératives, qui
convenablement utilisées vont permettre d’obtenir des valeurs précises des racines.
1.2. La dichotomie
Étymologiquement ce mot d’origine grecque signifie action de couper en deux. Le principe de la
méthode est le suivant : supposons que l’on sache qu’une racine ait été localisée dans l’intervalle
(a, b) et que cette racine soit unique dans cet intervalle. Nous allons étudier le signe de f(x)
dans (a, b). Pour cela nous comparons les signes de f(u) et de f (y). S’ils sont identiques cela
signifie que la racine est comprise dans l’intervalle (9, b) ; s’ils sont différents cela veut dire
que la racine appartient à l’intervalle (a, y). 0 n recommence la procédure dans l’intervalle où
se situe la racine, mais on s’aperçoit que la taille de l’intervalle a été divisée par deux. On va
poursuivre ainsi jusqu’à ce que l’on obtienne la précision souhaitée. Il est facile de connaître le
nombre de tours que doit comporter la procédure à partir du moment où l’on sait quelle est la
précision de la machine utilisée et que la racine a fait l’objet d’une localisation raisonaable.
Combien de fois devons-nous répéter la division de l’intervalle par deux ? - Désignons par x0
la racine : f(xe) = 0, et par (a, b) l’intervalle sur lequel on exécute la dichotomie, I CO appartenant
à (a, b).
Après n tours, la dichotomie définit l’intervalle minimum ~1 qui sera le dernier susceptible de
modifier effectivement la valeur ~0, c’est-à-dire :
&1 =(&a)
;
0
n
soit en valeur relative :
L’inégalité (u) définit le nombre de tours à effectuer pour obtenir la précision optimum, soit
en passant aux logarithmes :
0,301n - logio
l
l
--f SP,
o,yol (p+logl~~~,).
soit encore : 12 = -
Comme on a effectué une localisation de x0 telle que
disons 10 pour fixer les idées (ce qui résout la
l’ordre de :
soit de l’ordre de quelques unités,
cas réels rencontrés), n sera de
Si p vaut 9, on trouve alors 33 tours de calcul, si p vaut 15 on obtient 53 tours de calcul.
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DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
le degré ne dépasse pas la dizaine. Nous examinerons en détail cette méthode dans l’annexe A.
La localisation préliminaire des racines peut être plus difficile qu’il n’y paraît en première
analyse notamment lorsque f(x) présente des extremums au voisinage de l’axe des 2 et
cela sans préjuger qu’il y ait des racines ou non. Ces valeurs approchées des racines vont
servir de point de départ à tout un ensemble de méthodes, le plus souvent itératives, qui
convenablement utilisées vont permettre d’obtenir des valeurs précises des racines.
1.2. La dichotomie
Étymologiquement ce mot d’origine grecque signifie action de couper en deux. Le principe de la
méthode est le suivant : supposons que l’on sache qu’une racine ait été localisée dans l’intervalle
(a, b) et que cette racine soit unique dans cet intervalle. Nous allons étudier le signe de f(x)
dans (a, b). Pour cela nous comparons les signes de f(u) et de f (y). S’ils sont identiques cela
signifie que la racine est comprise dans l’intervalle (9, b) ; s’ils sont différents cela veut dire
que la racine appartient à l’intervalle (a, y). 0 n recommence la procédure dans l’intervalle où
se situe la racine, mais on s’aperçoit que la taille de l’intervalle a été divisée par deux. On va
poursuivre ainsi jusqu’à ce que l’on obtienne la précision souhaitée. Il est facile de connaître le
nombre de tours que doit comporter la procédure à partir du moment où l’on sait quelle est la
précision de la machine utilisée et que la racine a fait l’objet d’une localisation raisonaable.
Combien de fois devons-nous répéter la division de l’intervalle par deux ? - Désignons par x0
la racine : f(xe) = 0, et par (a, b) l’intervalle sur lequel on exécute la dichotomie, I CO appartenant
à (a, b).
Après n tours, la dichotomie définit l’intervalle minimum ~1 qui sera le dernier susceptible de
modifier effectivement la valeur ~0, c’est-à-dire :
&1 =(&a)
;
0
n
soit en valeur relative :
L’inégalité (u) définit le nombre de tours à effectuer pour obtenir la précision optimum, soit
en passant aux logarithmes :
0,301n - logio
l
l
--f SP,
o,yol (p+logl~~~,).
soit encore : 12 = -
Comme on a effectué une localisation de x0 telle que
disons 10 pour fixer les idées (ce qui résout la
l’ordre de :
soit de l’ordre de quelques unités,
cas réels rencontrés), n sera de
Si p vaut 9, on trouve alors 33 tours de calcul, si p vaut 15 on obtient 53 tours de calcul.
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