Dans ce chapitre, nous étudions quelques méthodes de résolution des équations du type f(x) = 0
suivi de quelques méthodes de résolution de systèmes non linéaires d’équations, puis nous
terminons par l’étude d’une méthode spécifique concernant les équations algébriques. Nous
limitons notre étude aux fonctions réelles, mais, comme nous le verrons, bien des méthodes
pourront être étendues sans grande difficulté au cas de la variable complexe ; et dans la mesure
où les calculateurs utilisés permettent d’effectuer les calculs en complexes, il n’y aura que peu
de changements à apporter aux algorithmes et programmes proposés.
On a l’habitude de classer les équations f(x) = 0 en deux types qui sont les équations
algébriques (polynômes) et les équations transcendantes c’est-à-dire celles qui ne sont pas
réductibles à un polynôme. Toutes les méthodes qui s’appliquent à la résolution d’équations
transcendantes s’appliquent également aux équations algébriques et cela sans préjuger des ennuis
possibles de calcul numérique. En revanche, pour ce qui concerne les polynômes, il existe quelques
méthodes spécifiques dont certaines sont très utiles à connaître, c’est la raison pour laquelle nous
étudions d’abord les méthodes générales avant d’aborder les méthodes spécifiques.
1. Généralités sur la résolution des équations f(x) = 0
1.1. Localisation des racines des équations
Avant d’entreprendre le calcul à proprement parler d’une ou de plusieurs racines, il convient
de localiser soigneusement ces racines pour ne pas avoir à rencontrer de surprises désagréables,
telles que l’arrêt inopiné de la machine... Plusieurs possibilités s’offrent à nous pour localiser les
racines, en voici quelques-unes.
a. On peut avoir recours à certains théorèmes de mathématiques nous fournissant ces renseignements. Ce sont par exemple les théorèmes généraux concernant les polynômes orthogonaux
relativement à une fonction poids W(X) donnée.
b. On peut, dans le même ordre d’idée, effectuer une étude particulière de la fonction f(x) et
en effectuer la représentation graphique.
c. On peut aussi tabuler la fonction f(z) avec un pas variable pour tenter d’obtenir le maximum
de renseignements.
d. Dans certains cas, on pourra essayer d’utiliser les suites de Sturm (1803-1855), mais il faut
bien dire que l’intérêt de telles suites est essentiellement théorique, et l’utilisation devient
délicate même pour les polynômes à coefficients entiers (de quelques unités cependant) dont
51
suivi de quelques méthodes de résolution de systèmes non linéaires d’équations, puis nous
terminons par l’étude d’une méthode spécifique concernant les équations algébriques. Nous
limitons notre étude aux fonctions réelles, mais, comme nous le verrons, bien des méthodes
pourront être étendues sans grande difficulté au cas de la variable complexe ; et dans la mesure
où les calculateurs utilisés permettent d’effectuer les calculs en complexes, il n’y aura que peu
de changements à apporter aux algorithmes et programmes proposés.
On a l’habitude de classer les équations f(x) = 0 en deux types qui sont les équations
algébriques (polynômes) et les équations transcendantes c’est-à-dire celles qui ne sont pas
réductibles à un polynôme. Toutes les méthodes qui s’appliquent à la résolution d’équations
transcendantes s’appliquent également aux équations algébriques et cela sans préjuger des ennuis
possibles de calcul numérique. En revanche, pour ce qui concerne les polynômes, il existe quelques
méthodes spécifiques dont certaines sont très utiles à connaître, c’est la raison pour laquelle nous
étudions d’abord les méthodes générales avant d’aborder les méthodes spécifiques.
1. Généralités sur la résolution des équations f(x) = 0
1.1. Localisation des racines des équations
Avant d’entreprendre le calcul à proprement parler d’une ou de plusieurs racines, il convient
de localiser soigneusement ces racines pour ne pas avoir à rencontrer de surprises désagréables,
telles que l’arrêt inopiné de la machine... Plusieurs possibilités s’offrent à nous pour localiser les
racines, en voici quelques-unes.
a. On peut avoir recours à certains théorèmes de mathématiques nous fournissant ces renseignements. Ce sont par exemple les théorèmes généraux concernant les polynômes orthogonaux
relativement à une fonction poids W(X) donnée.
b. On peut, dans le même ordre d’idée, effectuer une étude particulière de la fonction f(x) et
en effectuer la représentation graphique.
c. On peut aussi tabuler la fonction f(z) avec un pas variable pour tenter d’obtenir le maximum
de renseignements.
d. Dans certains cas, on pourra essayer d’utiliser les suites de Sturm (1803-1855), mais il faut
bien dire que l’intérêt de telles suites est essentiellement théorique, et l’utilisation devient
délicate même pour les polynômes à coefficients entiers (de quelques unités cependant) dont
51