ANNEXE H. PR.OBLÈMES ET EXERCICES
00
I-(z) = .I
exp( -t)t*-r dt
ryn + 1) = :I!
( n+; )
1
r
.3. 5..
~
.
(2n 1)
=
2”
6.
12.4. Loi de Student
Effcctucr un sous-programme qui réalise lc calcul de la loi de Studcnt à m degres de liberté :
12.5. Loi de Poisson
Effectuer un sous-programme qui réalise le calcul de la loi de Poisson :
Pk: = $ exp(-A).
On donne X = 30, par quelle courbe de Gauss peut-on approcher cette loi? Donner le sup du
module de la difference entre ces deux fonctions.
12.6. Loi de Poisson. Distribution de Cauchy
On considère la variable aléatoire < obéissant a la loi de distribution
p(z) = kexp -a121
pour z appartenant à (-00; +oo)
expression dans laquelle u. est un paramètre strictcmcnt positif et k une constante de normalisation.
a - Calculer la constante k.
b - Rappeler la définition de la fonction caractéristique 4(t) d ,l
P a variable aléatoire < et donner
l’intervalle de définition de cette fonction. Calculer effectivement 4(t).
c - Calculer la moyenne m ainsi que l’ecart quadratique moyen D de la variable aléatoire [.
d - Rappeler l’expression de la distribution i(m, z) de Student à m degrés de liberté d’une
variable aléatoire 7 et donner son expression dans le cas où m = 1; on désignera par q(z) cette
distribution particulière.
e - Donner l’expression Q(t) de la fonction caractéristique de la variable aléatoire q.
f - Soit z = i ~~‘, Q la moyenne arithmétique de ré variables aléatoires ‘rjk indépendantes et
distribuées chacune selon la loi Q(Z). Donner l’expression de la fonction caractéristique Q(t) de
la variable z, puis en déduire sa fonction de distribution.
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00
I-(z) = .I
exp( -t)t*-r dt
ryn + 1) = :I!
( n+; )
1
r
.3. 5..
~
.
(2n 1)
=
2”
6.
12.4. Loi de Student
Effcctucr un sous-programme qui réalise lc calcul de la loi de Studcnt à m degres de liberté :
12.5. Loi de Poisson
Effectuer un sous-programme qui réalise le calcul de la loi de Poisson :
Pk: = $ exp(-A).
On donne X = 30, par quelle courbe de Gauss peut-on approcher cette loi? Donner le sup du
module de la difference entre ces deux fonctions.
12.6. Loi de Poisson. Distribution de Cauchy
On considère la variable aléatoire < obéissant a la loi de distribution
p(z) = kexp -a121
pour z appartenant à (-00; +oo)
expression dans laquelle u. est un paramètre strictcmcnt positif et k une constante de normalisation.
a - Calculer la constante k.
b - Rappeler la définition de la fonction caractéristique 4(t) d ,l
P a variable aléatoire < et donner
l’intervalle de définition de cette fonction. Calculer effectivement 4(t).
c - Calculer la moyenne m ainsi que l’ecart quadratique moyen D de la variable aléatoire [.
d - Rappeler l’expression de la distribution i(m, z) de Student à m degrés de liberté d’une
variable aléatoire 7 et donner son expression dans le cas où m = 1; on désignera par q(z) cette
distribution particulière.
e - Donner l’expression Q(t) de la fonction caractéristique de la variable aléatoire q.
f - Soit z = i ~~‘, Q la moyenne arithmétique de ré variables aléatoires ‘rjk indépendantes et
distribuées chacune selon la loi Q(Z). Donner l’expression de la fonction caractéristique Q(t) de
la variable z, puis en déduire sa fonction de distribution.
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