ANNEXE H. PROBLéMES
ET EXERCICES
8.2. Refroidissement d’une sphère homogène
Une sphère homogène dc cuivre dc rayon 7’ = 5 cm est, portée à la temp&at,ure uniforme H o =
90 “C. Au temps t = 0. elle est plongée dans 1111 grand rkervoir d’wu à la tcmpératurc uniforme
01 = 10 “C. On considère que cc rkservoir est un excellent thermostat. On demande do calculer
la tcmpiirat,ure dans la sphkc: à diffkrcnts instants. On dit que la sphère est c:orrll->lèt,cmr,nt
refroidie lorsqur son centre, est à une température inférieure à 10,l “C. Déterminer la durée du
refroidissement. On donne le coefficient dc diffusion dans le cuivre D = 1.12 cm2/s.
N.B. - Attention & l’usage des coordonn~cs sphériques que nous emploierons dc toute façon,
mais CII 1’ = 0 les équations sont discontinues. Comment pallier cet inconv6nicnt ?
8.3. Cas où tout le volume est le siège d’un dégagement de chaleur
Si tout lc volume est, le siège d’un dégagcmrnt de chaleur, montrer que l’kluation dc la clialcur
s’krit, :
où P est la puissance dissipk par unit,6 de voliimr~. p est, la capücit~k calorifiyuc par unit6 de
volume et X est la conductibilité thermiyuc du milieu.
Un cylindre dc cuivre de longueur indkfinie, dc rayon R = 1 cm. est, parcouru par 1111 courant 1.
La rkistivitk du cuivre est r(T) = ro(l + QT), où r‘() = 1,72 10-s bL m. T est cxprimb en “C ct
a = 4,1( OC)-‘. On donne 0 = 3,40 Jcn? ct D = f = 1,12 cm p2se.-1. On plonge w fil dans un
bain (thermostat) 5, la tcmpératurc de 10 “C, on attend que le fil soit en éyuilibrc thermiyuc,
ensuite on fait passer 1111 coura.nt continu réparti uniformément d’intensité 1 = 200 A.
Après avoir montré que P = r(T)j” avec j = 5: dkterminer lc profil de température de
seconde en seconde dans une: section du fil.
9. Les transformées de Fourier
9.1. L’algorithme de Cooley-Tuckey
Réaliser le programme dc la transformée dc Fourier directe et de la transformée dc Fourier
inverse.
On c’omrncncera
par rkliser des programmes de mise au point qui sont :
a. la table des adresses pcrmettjant de mettre les domkes dans le bon ordre ;
b. la table des simls (et cosinus) au moyen d’un algorit,hme
rCcurrent ;
c. la transformke de Fourier par dkimation.
On pourra tcstcr les deux transformkes de Fourier sur une gaussicnrle tronquk (il faut
réflkhir sur la troncature.. .). La transforrn+e inverse doit permettre d’obtenir les valeurs dc
départ, éventuellement entachkcs d’une petite erreur, déphasées dc ?r selon lc choix rctcnu pour
rcprkentcr les données.
Transformke de Fourier de la fonction porte.
Transformk de Fourier d’un rkeau (taches de difbaction).
467
ET EXERCICES
8.2. Refroidissement d’une sphère homogène
Une sphère homogène dc cuivre dc rayon 7’ = 5 cm est, portée à la temp&at,ure uniforme H o =
90 “C. Au temps t = 0. elle est plongée dans 1111 grand rkervoir d’wu à la tcmpératurc uniforme
01 = 10 “C. On considère que cc rkservoir est un excellent thermostat. On demande do calculer
la tcmpiirat,ure dans la sphkc: à diffkrcnts instants. On dit que la sphère est c:orrll->lèt,cmr,nt
refroidie lorsqur son centre, est à une température inférieure à 10,l “C. Déterminer la durée du
refroidissement. On donne le coefficient dc diffusion dans le cuivre D = 1.12 cm2/s.
N.B. - Attention & l’usage des coordonn~cs sphériques que nous emploierons dc toute façon,
mais CII 1’ = 0 les équations sont discontinues. Comment pallier cet inconv6nicnt ?
8.3. Cas où tout le volume est le siège d’un dégagement de chaleur
Si tout lc volume est, le siège d’un dégagcmrnt de chaleur, montrer que l’kluation dc la clialcur
s’krit, :
où P est la puissance dissipk par unit,6 de voliimr~. p est, la capücit~k calorifiyuc par unit6 de
volume et X est la conductibilité thermiyuc du milieu.
Un cylindre dc cuivre de longueur indkfinie, dc rayon R = 1 cm. est, parcouru par 1111 courant 1.
La rkistivitk du cuivre est r(T) = ro(l + QT), où r‘() = 1,72 10-s bL m. T est cxprimb en “C ct
a = 4,1( OC)-‘. On donne 0 = 3,40 Jcn? ct D = f = 1,12 cm p2se.-1. On plonge w fil dans un
bain (thermostat) 5, la tcmpératurc de 10 “C, on attend que le fil soit en éyuilibrc thermiyuc,
ensuite on fait passer 1111 coura.nt continu réparti uniformément d’intensité 1 = 200 A.
Après avoir montré que P = r(T)j” avec j = 5: dkterminer lc profil de température de
seconde en seconde dans une: section du fil.
9. Les transformées de Fourier
9.1. L’algorithme de Cooley-Tuckey
Réaliser le programme dc la transformée dc Fourier directe et de la transformée dc Fourier
inverse.
On c’omrncncera
par rkliser des programmes de mise au point qui sont :
a. la table des adresses pcrmettjant de mettre les domkes dans le bon ordre ;
b. la table des simls (et cosinus) au moyen d’un algorit,hme
rCcurrent ;
c. la transformke de Fourier par dkimation.
On pourra tcstcr les deux transformkes de Fourier sur une gaussicnrle tronquk (il faut
réflkhir sur la troncature.. .). La transforrn+e inverse doit permettre d’obtenir les valeurs dc
départ, éventuellement entachkcs d’une petite erreur, déphasées dc ?r selon lc choix rctcnu pour
rcprkentcr les données.
Transformke de Fourier de la fonction porte.
Transformk de Fourier d’un rkeau (taches de difbaction).
467