16 1 Les transformées de Fourier
Depuis la vulgarisation des algorithmes rapides (1965), le rôle des transformées de Fourier dans
les problèmes de traitement de fonctions &.hantillonr~ées
s’est notablement accru. Ce n’est pas
pour autant qu’il faille négliger l’apport considérable dc la théorie qui a fourni notamment un
catalogue de solutions formelles de problèmes. Cependant, le strict calcul numérique posé par
un problème n’ayant pas de solution formelle connue était une entreprise à la fois très longue
ct très coûteuse. En calculant les intégrales au moyen de la technique des rectangles pour une
fonction échantillonnées en 2048 points il fallait, avec une calculatrice de la fin des années
60, environ 3 heures pour obtenir la transforrnée de Fourier. Le calcul des fonctions sinus et
cosinus au rnoyen de relations de récurrence rnentionnées par J. Arsac a ramené le même calcul
à 3/4 d’heure tandis que l’utilisation de l’algorithme de Cooley-Tukey a permis d’effectuer la
transformation en 45 secondes... Il ne faut pas oublier qu’ils ont eu des prédécesseurs meconnus
qui ont ceuvré tout à fait dans la même direction et il est probable que l’idée originale de cet
algorithme soit due à Carl Rungc (185661927) et à KOnig. Sur cc sujet, on trouvera un petit
aperçu historique dans l’ouvrage de E. Oran Brigham cité en bibliographie.
Les transformées de Fourier trouvent leurs principales applications en optique. en cristallographie, en analyse harmonique, cn traitement du signal, en résolution des équations
de convolution, en corrélation (théorème de Wiener (189441952) - Kintchine), en thcoric des
probabilités (fonctions caractéristiques), et d’une facon générale, dans tous les problèmes où il
y a avantage à travailler dans l’espace réciproque.
1. Extension des séries de Fourier au cas où la période est infinie
L’idée consiste à isoler une partie de la fonction f(t) sur un intcrvallc fini (-T/2, +T/2): puis
à procéder à son développement en série de Fourier, et enfin à faire tendre T vers l’infini et à
examiner le résultat. En posant :
on obtient le développement :
f(t) = !$ + 5 [a, cos(nfB) + b,, sin(nnt)]
n=l
(16.1)
249
Depuis la vulgarisation des algorithmes rapides (1965), le rôle des transformées de Fourier dans
les problèmes de traitement de fonctions &.hantillonr~ées
s’est notablement accru. Ce n’est pas
pour autant qu’il faille négliger l’apport considérable dc la théorie qui a fourni notamment un
catalogue de solutions formelles de problèmes. Cependant, le strict calcul numérique posé par
un problème n’ayant pas de solution formelle connue était une entreprise à la fois très longue
ct très coûteuse. En calculant les intégrales au moyen de la technique des rectangles pour une
fonction échantillonnées en 2048 points il fallait, avec une calculatrice de la fin des années
60, environ 3 heures pour obtenir la transforrnée de Fourier. Le calcul des fonctions sinus et
cosinus au rnoyen de relations de récurrence rnentionnées par J. Arsac a ramené le même calcul
à 3/4 d’heure tandis que l’utilisation de l’algorithme de Cooley-Tukey a permis d’effectuer la
transformation en 45 secondes... Il ne faut pas oublier qu’ils ont eu des prédécesseurs meconnus
qui ont ceuvré tout à fait dans la même direction et il est probable que l’idée originale de cet
algorithme soit due à Carl Rungc (185661927) et à KOnig. Sur cc sujet, on trouvera un petit
aperçu historique dans l’ouvrage de E. Oran Brigham cité en bibliographie.
Les transformées de Fourier trouvent leurs principales applications en optique. en cristallographie, en analyse harmonique, cn traitement du signal, en résolution des équations
de convolution, en corrélation (théorème de Wiener (189441952) - Kintchine), en thcoric des
probabilités (fonctions caractéristiques), et d’une facon générale, dans tous les problèmes où il
y a avantage à travailler dans l’espace réciproque.
1. Extension des séries de Fourier au cas où la période est infinie
L’idée consiste à isoler une partie de la fonction f(t) sur un intcrvallc fini (-T/2, +T/2): puis
à procéder à son développement en série de Fourier, et enfin à faire tendre T vers l’infini et à
examiner le résultat. En posant :
on obtient le développement :
f(t) = !$ + 5 [a, cos(nfB) + b,, sin(nnt)]
n=l
(16.1)
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