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14. INTÉGRATION ms ÉQU.~TIONS
AUX DÉRIVÉES PARTIELLES
,
en généralisant sur la troisième dimension :
dz@
2
4>5 -ao
@6 -@O
sz2 0
bz(l + c)
-+-.
dz
62
>
3. L’opérateur laplacien
Compte tenu de son importance, il mérite qu’on s’arrête quelque peu sur lui et notamment que
l’on donne son expression en fonction des opérateurs de différence dans le repère cartésien ainsi
que dans les systèmes curvilignes orthogonaux classiques.
3.1. Repère cartésien orthonormé
M(i, j ~ 1, k)i - - - - - -$ - - - - - l M(i, j + 1, k)
Figure 14.2. Repère cartésien
/
SX
orthonormé.
X
Désignons par 6x, Sy et Sz les dimensions de la maille élémentaire, l’orientation du maillage à
trois dimensions étant définie conformément à la figure 14.2. Il vient immédiatement que :
aqx, y, Z)i,j,k = & [@(i + l,j, k) + @(i - l,j, Ic) - 2@(i,j, k)]
+ & [@(i,j + 1, Ic) + Q(i, j ~ 1, k) - LQ(i,j, k,]
+ $ [cqi, j, k + 1) + qi, j, k ~ 1) - LQ(i,j, Ic)] .
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