X
Table des mati` eres
2.3
Analyse a priori et a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4
Sources d’erreurs dans un mod` ele num´ erique . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5
Repr´ esentation des nombres en machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5.1 Le syst` eme positionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5.2 Le syst` eme des nombres ` a virgule flottante . . . . . . . . . . 47
2.5.3 R´ epartition des nombres `
a virgule flottante . . . . . . . . . 49
2.5.4 Arithm´ etique IEC/IEEE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5.5 Arrondi d’un nombre r´ eel en repr´ esentation
machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5.6 Op´ erations machines en virgule flottante . . . . . . . . . . . . 52
2.6
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
II Alg` ebre lin´ eaire num´ erique
3 M´ ethodes directes pour la r´ esolution
des syst` emes lin´ eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1
Analyse de stabilit´ e des syst` emes lin´ eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1.1 Conditionnement d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1.2 Analyse a priori directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.1.3 Analyse a priori r´ etrograde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.1.4 Analyse a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2
R´ esolution d’un syst` eme triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2.1 Impl´ ementation des m´ ethodes de substitution . . . . . . . 68
3.2.2 Analyse des erreurs d’arrondi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2.3 Inverse d’une matrice triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.3
M´ ethode d’´ elimination de Gauss et factorisation LU . . . . . . . 72
3.3.1 La m´ ethode de Gauss comme m´ ethode
de factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3.2 Effets des erreurs d’arrondi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3.3 Impl´ ementation de la factorisation LU . . . . . . . . . . . . . . 80
3.3.4 Formes compactes de factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.4
Autres types de factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.4.1 La factorisation LDM
T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.4.2 Matrices sym´ etriques d´ efinies positives : la
factorisation de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.4.3 Matrices rectangulaires : la factorisation QR . . . . . . . . 86
3.5
Changement de pivot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.6
Calculer l’inverse d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.7
Syst` emes bandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.7.1 Matrices tridiagonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.7.2 Impl´ ementations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.8
Syst` emes par blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.8.1 La factorisation LU par blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Table des mati` eres
2.3
Analyse a priori et a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4
Sources d’erreurs dans un mod` ele num´ erique . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5
Repr´ esentation des nombres en machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5.1 Le syst` eme positionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5.2 Le syst` eme des nombres ` a virgule flottante . . . . . . . . . . 47
2.5.3 R´ epartition des nombres `
a virgule flottante . . . . . . . . . 49
2.5.4 Arithm´ etique IEC/IEEE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5.5 Arrondi d’un nombre r´ eel en repr´ esentation
machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5.6 Op´ erations machines en virgule flottante . . . . . . . . . . . . 52
2.6
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
II Alg` ebre lin´ eaire num´ erique
3 M´ ethodes directes pour la r´ esolution
des syst` emes lin´ eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1
Analyse de stabilit´ e des syst` emes lin´ eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1.1 Conditionnement d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1.2 Analyse a priori directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.1.3 Analyse a priori r´ etrograde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.1.4 Analyse a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2
R´ esolution d’un syst` eme triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2.1 Impl´ ementation des m´ ethodes de substitution . . . . . . . 68
3.2.2 Analyse des erreurs d’arrondi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2.3 Inverse d’une matrice triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.3
M´ ethode d’´ elimination de Gauss et factorisation LU . . . . . . . 72
3.3.1 La m´ ethode de Gauss comme m´ ethode
de factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3.2 Effets des erreurs d’arrondi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3.3 Impl´ ementation de la factorisation LU . . . . . . . . . . . . . . 80
3.3.4 Formes compactes de factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.4
Autres types de factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.4.1 La factorisation LDM
T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.4.2 Matrices sym´ etriques d´ efinies positives : la
factorisation de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.4.3 Matrices rectangulaires : la factorisation QR . . . . . . . . 86
3.5
Changement de pivot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.6
Calculer l’inverse d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.7
Syst` emes bandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.7.1 Matrices tridiagonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.7.2 Impl´ ementations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.8
Syst` emes par blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.8.1 La factorisation LU par blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99