Table des mati` eres
I Notions de base
1
´
El´ ements d’analyse matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1
Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2
Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3
Op´ erations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Inverse d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2 Matrices et applications lin´ eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4
Trace et d´ eterminant d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5
Rang et noyau d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6
Matrices particuli` eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6.1 Matrices diagonales par blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6.2 Matrices trap´ ezo¨ ıdales et triangulaires . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6.3 Matrices bandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7
Valeurs propres et vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.8
Matrices semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.9
D´ ecomposition en valeurs singuli` eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.10 Produits scalaires vectoriels et normes vectorielles . . . . . . . . . . 18
1.11 Normes matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.11.1 Relation entre normes et rayon spectral
d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.11.2 Suites et s´ eries de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.12 Matrices d´ efinies positives, matrices ` a diagonale dominante
et M-matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.13 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Les fondements du calcul scientifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1
Probl` emes bien pos´ es et conditionnements . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2
Stabilit´ e des m´ ethodes num´ eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.1 Relations entre stabilit´ e et convergence . . . . . . . . . . . . . 41
I Notions de base
1
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El´ ements d’analyse matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1
Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2
Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3
Op´ erations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Inverse d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2 Matrices et applications lin´ eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4
Trace et d´ eterminant d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5
Rang et noyau d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6
Matrices particuli` eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6.1 Matrices diagonales par blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6.2 Matrices trap´ ezo¨ ıdales et triangulaires . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6.3 Matrices bandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7
Valeurs propres et vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.8
Matrices semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.9
D´ ecomposition en valeurs singuli` eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.10 Produits scalaires vectoriels et normes vectorielles . . . . . . . . . . 18
1.11 Normes matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.11.1 Relation entre normes et rayon spectral
d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.11.2 Suites et s´ eries de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.12 Matrices d´ efinies positives, matrices ` a diagonale dominante
et M-matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.13 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Les fondements du calcul scientifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1
Probl` emes bien pos´ es et conditionnements . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2
Stabilit´ e des m´ ethodes num´ eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.1 Relations entre stabilit´ e et convergence . . . . . . . . . . . . . 41