2.6 Exercices
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2. Etudier si le probl` eme suivant est bien pos´ e et calculer son conditionnement (en
norme · ·∞) en fonction de la donn´ ee d : trouver x et y tels que
x + dy = 1 ,
dx + y = 0 .
[Solution : le probl` eme consid´ er´ e est un syst` eme lin´ eaire dont la matrice est
A =
1 d
d 1
. Il est bien pos´ e si A n’est pas singuli` ere, i.e., si d = ±1. Dans
ce cas, K∞(A) = |(|d| + 1)/(|d| − 1)|.]
3. Etudier le conditionnement de la formule x± = −p ±
p 2 + q donnant la solution d’une ´ equation du second degr´ e x
2 +2px − q par rapport aux perturbations
des param` etres p et q s´ epar´ ement.
[Solution : K(p) = |p|/
p 2 + q, K(q) = |q|/(2|x±|
p 2 + q).]
4. Consid´ erons le probl` eme de Cauchy suivant
x
(t) = x0e
at (a cos(t) − sin(t)) , t > 0 ,
x(0) = x0 ,
(2.38)
dont la solution est x(t) = x0e
at cos(t) (a ´ etant un nombre r´ eel donn´ e). Etudier
le conditionnement de (2.38) par rapport au choix d’une donn´ ee initiale et
v´ erifier que sur des intervalles non born´ es ce probl` eme est bien conditionn´ e si
a < 0, et mal conditionn´ e si a > 0.
[Indication : consid´ erer la d´ efinition de Kabs(a).]
5. Soit
x = 0 une approximation d’une quantit´ e x non nulle. Trouver la relation
entre l’erreur relative = |x −
x|/|x| et ˜
E = |x −
x|/| x|.
6. D´ eterminer tous les ´ el´ ements de l’ensemble F = (10, 6, −9, 9), dans le cas normalis´ e et le cas d´ enormalis´ e.
7. Consid´ erer l’ensemble des nombres d´ enormalis´ es FD et ´ etudier le comportement
de la distance absolue et de la distance relative entre deux nombres de cet
ensemble. L’effet “wobbling precision” se produit-il encore ?
[Indication : pour ces nombres, il n’y a plus uniformit´ e de la densit´ e relative.
Par cons´ equent, la distance absolue demeure constante (´ egale `
a β
L−t ), tandis
que la distance relative augmente rapidement quand x tend vers z´ ero.]
8. Quelle est la valeur de 0
0 en arithm´ etique IEEE ?
[Solution : id´ ealement, le r´ esultat devrait ˆ etre N aN . En pratique, les syst` emes
IEEE retournent la valeur 1. On peut trouver une motivation de ce r´ esultat
dans [Gol91].]
9. Montrer qu’` a cause des erreurs d’annulation, la suite d´ efinie par
I0 = log
6
5
, Ii + 5Ii−1 =
1
i
, i = 1, 2, . . . , n,
(2.39)
n’est pas adapt´ ee, en arithm´ etique finie, `
a l’approximation de l’int´ egrale In =
1
0
x
n
x + 5
dx quand n est assez grand, alors qu’elle l’est en arithm´ etique infinie.
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2. Etudier si le probl` eme suivant est bien pos´ e et calculer son conditionnement (en
norme · ·∞) en fonction de la donn´ ee d : trouver x et y tels que
x + dy = 1 ,
dx + y = 0 .
[Solution : le probl` eme consid´ er´ e est un syst` eme lin´ eaire dont la matrice est
A =
1 d
d 1
. Il est bien pos´ e si A n’est pas singuli` ere, i.e., si d = ±1. Dans
ce cas, K∞(A) = |(|d| + 1)/(|d| − 1)|.]
3. Etudier le conditionnement de la formule x± = −p ±
p 2 + q donnant la solution d’une ´ equation du second degr´ e x
2 +2px − q par rapport aux perturbations
des param` etres p et q s´ epar´ ement.
[Solution : K(p) = |p|/
p 2 + q, K(q) = |q|/(2|x±|
p 2 + q).]
4. Consid´ erons le probl` eme de Cauchy suivant
x
(t) = x0e
at (a cos(t) − sin(t)) , t > 0 ,
x(0) = x0 ,
(2.38)
dont la solution est x(t) = x0e
at cos(t) (a ´ etant un nombre r´ eel donn´ e). Etudier
le conditionnement de (2.38) par rapport au choix d’une donn´ ee initiale et
v´ erifier que sur des intervalles non born´ es ce probl` eme est bien conditionn´ e si
a < 0, et mal conditionn´ e si a > 0.
[Indication : consid´ erer la d´ efinition de Kabs(a).]
5. Soit
x = 0 une approximation d’une quantit´ e x non nulle. Trouver la relation
entre l’erreur relative = |x −
x|/|x| et ˜
E = |x −
x|/| x|.
6. D´ eterminer tous les ´ el´ ements de l’ensemble F = (10, 6, −9, 9), dans le cas normalis´ e et le cas d´ enormalis´ e.
7. Consid´ erer l’ensemble des nombres d´ enormalis´ es FD et ´ etudier le comportement
de la distance absolue et de la distance relative entre deux nombres de cet
ensemble. L’effet “wobbling precision” se produit-il encore ?
[Indication : pour ces nombres, il n’y a plus uniformit´ e de la densit´ e relative.
Par cons´ equent, la distance absolue demeure constante (´ egale `
a β
L−t ), tandis
que la distance relative augmente rapidement quand x tend vers z´ ero.]
8. Quelle est la valeur de 0
0 en arithm´ etique IEEE ?
[Solution : id´ ealement, le r´ esultat devrait ˆ etre N aN . En pratique, les syst` emes
IEEE retournent la valeur 1. On peut trouver une motivation de ce r´ esultat
dans [Gol91].]
9. Montrer qu’` a cause des erreurs d’annulation, la suite d´ efinie par
I0 = log
6
5
, Ii + 5Ii−1 =
1
i
, i = 1, 2, . . . , n,
(2.39)
n’est pas adapt´ ee, en arithm´ etique finie, `
a l’approximation de l’int´ egrale In =
1
0
x
n
x + 5
dx quand n est assez grand, alors qu’elle l’est en arithm´ etique infinie.