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2 Les fondements du calcul scientifique
Table 2.3. R´ esultats de quelques op´ erations exceptionnelles
exception
exemples
r´ esultat
op´ eration non valide 0/0, 0 · ∞
N aN
overflow
±∞
division par z´ ero
1/0
±∞
underflow
nombres sous-normaux
un syst` eme F pour lequel β = 10 et t = 2. Soustrayons 1 et 0.99. Nous avons
10
1
· 0.1
1 0
1
· 0.10
10
0
· 0.99 ⇒ 10
1
· 0.09
10
1
· 0.01 −→ 10
0
· 0.10
ainsi, le r´ esultat obtenu diff` ere du r´ esultat exact d’un facteur 10. Si nous
ex´ ecutons ` a pr´ esent la mˆ eme op´ eration en utilisant le chiffre de garde, nous
obtenons le r´ esultat exact. En effet
10
1
· 0.1
1 0
1
· 0.10
10
0
· 0.99 ⇒ 10
1
· 0.09 9
10
1
· 0.00 1 −→ 10
0
· 0.01
On peut en fait montrer que l’addition et la soustraction effectu´ ees sans chiffre
de garde, ne satisfont pas la propri´ et´ e
fl(x ± y) = (x ± y)(1 + δ) avec |δ| ≤ u,
mais satisfont la propri´ et´ e suivante :
fl(x ± y) = x(1 + α) ± y(1 + β) avec |α| + |β| ≤ u.
Une arithm´ etique poss´ edant cette derni` ere propri´ et´ e est dite aberrante. Dans
certains ordinateurs le chiffre de garde n’existe pas, l’accent ´ etant mis sur la
vitesse de calcul. Cependant, de nos jours la tendance est plutˆ ot d’utiliser
deux chiffres de garde (voir [HP94] pour les pr´ ecisions techniques concernant
ce sujet).
2.6 Exercices
1. Calculer, en utilisant (2.7), le conditionnement K(d) des expressions suivantes
(1) x − a
d = 0, a > 0 ;
(2) d − x + 1 = 0,
d ´ etant la donn´ ee, a un param` etre et x l’inconnue.
[Solution : (1) K(d) |d|| log a| ; (2) K(d) = |d|/|d + 1|.]