2.5 Repr´ esentation des nombres en machine
49
Ils sont compris entre xmin = β
L−1 = 2
−2 = 1/4 et xmax = β
U (1 − β
−t ) =
2
2 (1 − 2
−3 ) = 7/2. Nous avons en tout (β − 1)β
t−1 (U − L + 1) = (2 − 1)2
3−1 (2 +
1 + 1) = 16 nombres strictement positifs. Il faut ajouter leurs oppos´ es, ainsi que le
nombre z´ ero. Remarquons que quand β = 2, le premier chiffre significatif dans la
repr´ esentation normalis´ ee est n´ ecessairement ´ egal `
a 1, et il peut donc ne pas ˆ etre
stock´ e par l’ordinateur (dans ce cas, on l’appelle bit cach´ e).
Quand on prend aussi en compte les nombres positifs d´ enormalis´ es, l’ensemble
ci-dessus doit ˆ etre compl´ et´ e par les nombres suivants
(0.011)2 · 2
−1 =
3
16
, (0.010)2 · 2
−1 =
1
8
, (0.001)2 · 2
−1 =
1
16
.
D’apr` es ce qui a ´ et´ e pr´ ec´ edemment ´ etabli, le plus petit nombre d´ enormalis´ e est
β
L−t = 2
−1−3 = 1/16.
•
2.5.3 R´ epartition des nombres `
a virgule flottante
Les nombres ` a virgule flottante ne sont pas ´ equir´ epartis le long de la droite
r´ eelle : ils deviennent plus denses pr` es du plus petit nombre repr´ esentable. On
peut v´ erifier que l’´ ecart entre un nombre x ∈ F et son voisin le plus proche
y ∈ F, o` u x et y sont suppos´ es non nuls, est au moins β
−1 M |x| et au plus
M |x|, o` u M = β
1−t est l’epsilon machine. Ce dernier repr´ esente la distance
entre 1 et le nombre ` a virgule flottante qui lui est le plus proche, c’est donc
le plus petit nombre de F tel que 1 + M > 1.
En revanche, quand on se donne un intervalle de la forme [β
e , β
e+1 ], les
nombres de F qui appartiennent `
a cet intervalle sont ´ equir´ epartis et sont distants de β
e−t . En augmentant (resp. diminuant) de 1 l’exposant, on augmente
(resp. diminue) d’un facteur β la distance s´ eparant les nombres cons´ ecutifs.
Contrairement `
a la distance absolue, la distance relative entre deux nombres
cons´ ecutifs a un comportement p´ eriodique qui d´ epend seulement de la mantisse m. En effet, en notant (−1)
s m(x)β
e−t l’un des deux nombres, la distance
∆x qui le s´ epare de l’autre est ´ egale ` a (−1)
s β
e−t , ce qui implique que la distance relative vaut
∆x
x
=
(−1)
s β
e−t
(−1) s m(x)β e−t =
1
m(x)
.
(2.31)
A l’int´ erieur d’un intervalle [β
e , β
e+1 ], la valeur (2.31) diminue quand x augmente puisque dans la repr´ esentation normalis´ ee la mantisse varie de β
t−1 ` a
β
t
− 1. Cependant, d` es que x = β
e+1 , la distance relative reprend la valeur
β
−t+1 et recommence ` a d´ ecroˆ ıtre sur l’intervalle suivant, comme le montre
la Figure 2.2. Ce ph´ enom` ene oscillatoire est appel´ e wobbling precision. Il est
d’autant plus prononc´ e que la base β est grande. C’est une autre raison pour
laquelle on pr´ ef` ere employer des petites bases dans les ordinateurs.
2.5.4 Arithm´ etique IEC/IEEE
La possibilit´ e de construire des nombres ` a virgule flottante qui diff` erent en
base, nombre de chiffres significatifs et exposants a entraˆ ın´ e dans le pass´ e le
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Ils sont compris entre xmin = β
L−1 = 2
−2 = 1/4 et xmax = β
U (1 − β
−t ) =
2
2 (1 − 2
−3 ) = 7/2. Nous avons en tout (β − 1)β
t−1 (U − L + 1) = (2 − 1)2
3−1 (2 +
1 + 1) = 16 nombres strictement positifs. Il faut ajouter leurs oppos´ es, ainsi que le
nombre z´ ero. Remarquons que quand β = 2, le premier chiffre significatif dans la
repr´ esentation normalis´ ee est n´ ecessairement ´ egal `
a 1, et il peut donc ne pas ˆ etre
stock´ e par l’ordinateur (dans ce cas, on l’appelle bit cach´ e).
Quand on prend aussi en compte les nombres positifs d´ enormalis´ es, l’ensemble
ci-dessus doit ˆ etre compl´ et´ e par les nombres suivants
(0.011)2 · 2
−1 =
3
16
, (0.010)2 · 2
−1 =
1
8
, (0.001)2 · 2
−1 =
1
16
.
D’apr` es ce qui a ´ et´ e pr´ ec´ edemment ´ etabli, le plus petit nombre d´ enormalis´ e est
β
L−t = 2
−1−3 = 1/16.
•
2.5.3 R´ epartition des nombres `
a virgule flottante
Les nombres ` a virgule flottante ne sont pas ´ equir´ epartis le long de la droite
r´ eelle : ils deviennent plus denses pr` es du plus petit nombre repr´ esentable. On
peut v´ erifier que l’´ ecart entre un nombre x ∈ F et son voisin le plus proche
y ∈ F, o` u x et y sont suppos´ es non nuls, est au moins β
−1 M |x| et au plus
M |x|, o` u M = β
1−t est l’epsilon machine. Ce dernier repr´ esente la distance
entre 1 et le nombre ` a virgule flottante qui lui est le plus proche, c’est donc
le plus petit nombre de F tel que 1 + M > 1.
En revanche, quand on se donne un intervalle de la forme [β
e , β
e+1 ], les
nombres de F qui appartiennent `
a cet intervalle sont ´ equir´ epartis et sont distants de β
e−t . En augmentant (resp. diminuant) de 1 l’exposant, on augmente
(resp. diminue) d’un facteur β la distance s´ eparant les nombres cons´ ecutifs.
Contrairement `
a la distance absolue, la distance relative entre deux nombres
cons´ ecutifs a un comportement p´ eriodique qui d´ epend seulement de la mantisse m. En effet, en notant (−1)
s m(x)β
e−t l’un des deux nombres, la distance
∆x qui le s´ epare de l’autre est ´ egale ` a (−1)
s β
e−t , ce qui implique que la distance relative vaut
∆x
x
=
(−1)
s β
e−t
(−1) s m(x)β e−t =
1
m(x)
.
(2.31)
A l’int´ erieur d’un intervalle [β
e , β
e+1 ], la valeur (2.31) diminue quand x augmente puisque dans la repr´ esentation normalis´ ee la mantisse varie de β
t−1 ` a
β
t
− 1. Cependant, d` es que x = β
e+1 , la distance relative reprend la valeur
β
−t+1 et recommence ` a d´ ecroˆ ıtre sur l’intervalle suivant, comme le montre
la Figure 2.2. Ce ph´ enom` ene oscillatoire est appel´ e wobbling precision. Il est
d’autant plus prononc´ e que la base β est grande. C’est une autre raison pour
laquelle on pr´ ef` ere employer des petites bases dans les ordinateurs.
2.5.4 Arithm´ etique IEC/IEEE
La possibilit´ e de construire des nombres ` a virgule flottante qui diff` erent en
base, nombre de chiffres significatifs et exposants a entraˆ ın´ e dans le pass´ e le