2.2 Stabilit´ e des m´ ethodes num´ eriques
39
Comme en (2.4), nous introduisons pour chaque probl` eme (2.12) les quantit´ es
K n (d n ) = sup
δx n /x n
δd n /d n
, δd n = 0, d n + δd n ∈ D n
,
K abs,n (d n ) = sup
δx n
δd n
, δd n = 0, d n + δd n ∈ D n
.
(2.17)
La m´ ethode num´ erique est dite bien conditionn´ ee si K(d n ) est “petit” pour
toute donn´ ee d n admissible, et mal conditionn´ ee sinon. Comme en (2.6), consid´ erons le cas o` u, pour tout n, la relation fonctionnelle (2.12) d´ efinit une application G n de l’ensemble des donn´ ees num´ eriques sur celui des solutions
x n = G n (d n ), c’est-` a-dire F n (G n (d n ), d n ) = 0.
(2.18)
En supposant G n diff´ erentiable, on peut d´ eduire de (2.17) que
K n (d n )
n (d n )
n
G n (d n )
,
K abs,n (d n )
n (d n ).
(2.19)
On remarque que, dans le cas o` u les ensembles de donn´ ees admissibles des
probl` emes (2.1) et (2.12) co¨ ıncident, on peut utiliser d au lieu de d n dans
(2.16) et (2.17). Dans ce cas, on peut d´ efinir le conditionnement asymptotique
absolu et le conditionnement asymptotique relatif correspondant `
a la donn´ ee
d de la mani` ere suivante
K
num (d) = lim
k→∞
sup
n≥k
K n (d), K
num
abs (d) = lim
k→∞
sup
n≥k
K abs,n (d).
Exemple 2.6 (addition et soustraction) La fonction f : R
2 → R, f (a, b) =
a + b, est une application lin´ eaire dont le gradient est le vecteur f
(a, b) = (1, 1)
T .
En utilisant la norme vectorielle · ·1 d´ efinie en (1.14), on obtient K(a, b) (|a| +
|b|)/(|a + b|). Il s’en suit que l’addition de deux nombres de mˆ eme signe est une
op´ eration bien conditionn´ ee, puisque K(a, b) 1. D’un autre cˆ ot´ e, la soustraction
de deux nombres presque ´ egaux est une op´ eration mal conditionn´ ee, puisque |a+b| |
|a| + |b|. Ce point, d´ ej` a mis en ´ evidence dans l’Exemple 2.2, conduit `
a l’annulation
de chiffres significatifs quand les nombres ne peuvent ˆ etre repr´ esent´ es qu’avec une
quantit´ e finie de chiffres (comme dans l’arithm´ etique ` a virgule flottante, voir Section
2.5).
•
Exemple 2.7 Consid´ erons ` a nouveau le probl` eme du calcul des racines d’un polynˆ ome du second degr´ e analys´ e dans l’Exemple 2.2. Quand p > 1 (racines s´ epar´ ees),
un tel probl` eme est bien conditionn´ e. N´ eanmoins, l’algorithme consistant `
a ´ evaluer
la racine x− par la formule x− = p −
p 2 − 1 est instable. Cette formule est en
effet sujette aux erreurs dues ` a l’annulation num´ erique de chiffres significatifs (voir
Section 2.4) introduite par l’arithm´ etique finie des ordinateurs. Un rem` ede possible
` a ce probl` eme consiste ` a calculer d’abord x+ = p +
p 2 − 1, puis x− = 1/x+. Une
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Comme en (2.4), nous introduisons pour chaque probl` eme (2.12) les quantit´ es
K n (d n ) = sup
δx n /x n
δd n /d n
, δd n = 0, d n + δd n ∈ D n
,
K abs,n (d n ) = sup
δx n
δd n
, δd n = 0, d n + δd n ∈ D n
.
(2.17)
La m´ ethode num´ erique est dite bien conditionn´ ee si K(d n ) est “petit” pour
toute donn´ ee d n admissible, et mal conditionn´ ee sinon. Comme en (2.6), consid´ erons le cas o` u, pour tout n, la relation fonctionnelle (2.12) d´ efinit une application G n de l’ensemble des donn´ ees num´ eriques sur celui des solutions
x n = G n (d n ), c’est-` a-dire F n (G n (d n ), d n ) = 0.
(2.18)
En supposant G n diff´ erentiable, on peut d´ eduire de (2.17) que
K n (d n )
n (d n )
n
G n (d n )
,
K abs,n (d n )
n (d n ).
(2.19)
On remarque que, dans le cas o` u les ensembles de donn´ ees admissibles des
probl` emes (2.1) et (2.12) co¨ ıncident, on peut utiliser d au lieu de d n dans
(2.16) et (2.17). Dans ce cas, on peut d´ efinir le conditionnement asymptotique
absolu et le conditionnement asymptotique relatif correspondant `
a la donn´ ee
d de la mani` ere suivante
K
num (d) = lim
k→∞
sup
n≥k
K n (d), K
num
abs (d) = lim
k→∞
sup
n≥k
K abs,n (d).
Exemple 2.6 (addition et soustraction) La fonction f : R
2 → R, f (a, b) =
a + b, est une application lin´ eaire dont le gradient est le vecteur f
(a, b) = (1, 1)
T .
En utilisant la norme vectorielle · ·1 d´ efinie en (1.14), on obtient K(a, b) (|a| +
|b|)/(|a + b|). Il s’en suit que l’addition de deux nombres de mˆ eme signe est une
op´ eration bien conditionn´ ee, puisque K(a, b) 1. D’un autre cˆ ot´ e, la soustraction
de deux nombres presque ´ egaux est une op´ eration mal conditionn´ ee, puisque |a+b| |
|a| + |b|. Ce point, d´ ej` a mis en ´ evidence dans l’Exemple 2.2, conduit `
a l’annulation
de chiffres significatifs quand les nombres ne peuvent ˆ etre repr´ esent´ es qu’avec une
quantit´ e finie de chiffres (comme dans l’arithm´ etique ` a virgule flottante, voir Section
2.5).
•
Exemple 2.7 Consid´ erons ` a nouveau le probl` eme du calcul des racines d’un polynˆ ome du second degr´ e analys´ e dans l’Exemple 2.2. Quand p > 1 (racines s´ epar´ ees),
un tel probl` eme est bien conditionn´ e. N´ eanmoins, l’algorithme consistant `
a ´ evaluer
la racine x− par la formule x− = p −
p 2 − 1 est instable. Cette formule est en
effet sujette aux erreurs dues ` a l’annulation num´ erique de chiffres significatifs (voir
Section 2.4) introduite par l’arithm´ etique finie des ordinateurs. Un rem` ede possible
` a ce probl` eme consiste ` a calculer d’abord x+ = p +
p 2 − 1, puis x− = 1/x+. Une