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9 Polynˆ omes orthogonaux en th´ eorie de l’approximation
A(1,1:n+2)=zeros(1,n+2);
A(1,1)=1; A(1,2)=alpha; A(1,n+1)=alpha;
rhs=[0.5*beta/h*(fx(2)-fx(n+1))+0.25*gamma/h*(fx(3)-fx(n)), rhs];
rhs=[rhs,0.5*beta/h*(fx(n+2)-fx(n))+0.25*gamma/h*(fx(2)-fx(n-1))];
A(n+2,1:n+2)=zeros(1,n+2);
A(n+2,n+2)=1; A(n+2,n+1)=alpha; A(n+2,2)=alpha;
rhs=[rhs,0.5*beta/h*(fx(2)-fx(n+1))+0.25*gamma/h*(fx(3)-fx(n))];
end
u = A\rhs’;
return
Exemple 9.4 Consid´ erons l’approximation de la d´ eriv´ ee de la fonction f (x) =
sin(x) sur l’intervalle [0, 2π]. La Figure 9.4 repr´ esente le logarithme des erreurs nodales maximales en fonction de p = log(n) pour le sch´ ema aux diff´ erences finies
centr´ ees du second ordre (9.62) et pour les sch´ emas aux diff´ erences compactes du
quatri` eme et du sixi` eme ordre introduits ci-dessus.
•
4
8
16
32
64
10
−10
10
−8
10
−6
10
−4
10
−2
10
0
Fig. 9.4. Erreurs nodales maximales en fonction de p = log(n) pour le sch´ ema
aux diff´ erences finies centr´ ees du second ordre (trait plein) et pour les sch´ emas
aux diff´ erences compactes du quatri` eme ordre (trait discontinu) et du sixi` eme ordre
(pointill´ es)
Remarque 9.5 Pour finir, remarquons qu’` a pr´ ecision ´ egale les sch´ emas compacts ont un stencil plus petit que les diff´ erences finies classiques. Les sch´ emas
compacts pr´ esentent aussi d’autres caract´ eristiques, comme celle de minimiser
l’erreur de phase, qui les rendent sup´ erieurs aux sch´ emas aux diff´ erences finies
traditionnelles (voir [QSS07], Section 10.11.2.).
9.10.3 D´ eriv´ ee pseudo-spectrale
Un proc´ ed´ e alternatif de diff´ erentiation num´ erique consiste ` a approcher la
d´ eriv´ ee d’une fonction f par la d´ eriv´ ee exacte du polynˆ ome Π n f interpolant f aux noeuds {x 0 , . . . , x n }. Exactement comme pour l’interpolation de
9 Polynˆ omes orthogonaux en th´ eorie de l’approximation
A(1,1:n+2)=zeros(1,n+2);
A(1,1)=1; A(1,2)=alpha; A(1,n+1)=alpha;
rhs=[0.5*beta/h*(fx(2)-fx(n+1))+0.25*gamma/h*(fx(3)-fx(n)), rhs];
rhs=[rhs,0.5*beta/h*(fx(n+2)-fx(n))+0.25*gamma/h*(fx(2)-fx(n-1))];
A(n+2,1:n+2)=zeros(1,n+2);
A(n+2,n+2)=1; A(n+2,n+1)=alpha; A(n+2,2)=alpha;
rhs=[rhs,0.5*beta/h*(fx(2)-fx(n+1))+0.25*gamma/h*(fx(3)-fx(n))];
end
u = A\rhs’;
return
Exemple 9.4 Consid´ erons l’approximation de la d´ eriv´ ee de la fonction f (x) =
sin(x) sur l’intervalle [0, 2π]. La Figure 9.4 repr´ esente le logarithme des erreurs nodales maximales en fonction de p = log(n) pour le sch´ ema aux diff´ erences finies
centr´ ees du second ordre (9.62) et pour les sch´ emas aux diff´ erences compactes du
quatri` eme et du sixi` eme ordre introduits ci-dessus.
•
4
8
16
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64
10
−10
10
−8
10
−6
10
−4
10
−2
10
0
Fig. 9.4. Erreurs nodales maximales en fonction de p = log(n) pour le sch´ ema
aux diff´ erences finies centr´ ees du second ordre (trait plein) et pour les sch´ emas
aux diff´ erences compactes du quatri` eme ordre (trait discontinu) et du sixi` eme ordre
(pointill´ es)
Remarque 9.5 Pour finir, remarquons qu’` a pr´ ecision ´ egale les sch´ emas compacts ont un stencil plus petit que les diff´ erences finies classiques. Les sch´ emas
compacts pr´ esentent aussi d’autres caract´ eristiques, comme celle de minimiser
l’erreur de phase, qui les rendent sup´ erieurs aux sch´ emas aux diff´ erences finies
traditionnelles (voir [QSS07], Section 10.11.2.).
9.10.3 D´ eriv´ ee pseudo-spectrale
Un proc´ ed´ e alternatif de diff´ erentiation num´ erique consiste ` a approcher la
d´ eriv´ ee d’une fonction f par la d´ eriv´ ee exacte du polynˆ ome Π n f interpolant f aux noeuds {x 0 , . . . , x n }. Exactement comme pour l’interpolation de