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6 R´ esolution des ´ equations et des syst` emes non lin´ eaires
f(x)
x
(1)
y
b
a
f(x)
x
(0)
x
y
b
a
x
(1)
x
x
(2)
α
α
x
(3)
Fig. 6.2. Les deux premi` eres ´ etapes de la m´ ethode de la corde (` a gauche) et de la
m´ ethode de la s´ ecante (` a droite)
A la Section 6.3.1, nous verrons que la suite {x
(k)
} d´ efinie par (6.12) converge
vers la racine α avec un ordre de convergence p = 1.
La m´ ethode de la s´ ecante. On pose
q k =
f(x
(k) ) − f(x
(k−1) )
x (k) − x (k−1)
∀k ≥ 0
(6.13)
d’o` u on d´ eduit, en se donnant deux valeurs initiales x
(−1) et x
(0) , la relation
suivante :
x
(k+1) = x
(k)
−
x
(k)
− x
(k−1)
f(x (k) ) − f(x (k−1) )
f(x
(k) )
∀k ≥ 0.
(6.14)
Compar´ ee ` a la m´ ethode de la corde, la m´ ethode it´ erative (6.14) n´ ecessite
une donn´ ee initiale suppl´ ementaire x
(−1) et f(x
(−1) ), ainsi que, pour chaque
k, le calcul du quotient (6.13). Le b´ en´ efice que l’on tire de cet effort de calcul
suppl´ ementaire est une vitesse de convergence accrue. C’est ce que montre
la propri´ et´ e suivante qui est un premier exemple de th´ eor` eme de convergence
locale (pour la preuve, voir [IK66] p. 99-101).
Propri´ et´ e 6.2 On suppose que f ∈ C
2 (J ) o` u J est un voisinage de la racine
α et que f
(α) = 0. Alors, si les donn´ ees initiales x
(−1) et x
(0) (choisies dans
J ) sont assez proches de α, la suite (6.14) converge vers α avec un ordre
p = (1 +
√
5)/2 1.63.
La m´ ethode de la fausse position. C’est une variante de la m´ ethode de
la s´ ecante dans laquelle, au lieu de prendre la droite passant par les points
(x
(k) , f(x
(k) )) et (x
(k−1) , f(x
(k−1) )), on prend celle passant par (x
(k) , f(x
(k) ))
et (x
(k
) , f(x
(k
) )), k
´ etant le plus grand indice inf´ erieur `
a k tel que f(x
(k
) ) ·
6 R´ esolution des ´ equations et des syst` emes non lin´ eaires
f(x)
x
(1)
y
b
a
f(x)
x
(0)
x
y
b
a
x
(1)
x
x
(2)
α
α
x
(3)
Fig. 6.2. Les deux premi` eres ´ etapes de la m´ ethode de la corde (` a gauche) et de la
m´ ethode de la s´ ecante (` a droite)
A la Section 6.3.1, nous verrons que la suite {x
(k)
} d´ efinie par (6.12) converge
vers la racine α avec un ordre de convergence p = 1.
La m´ ethode de la s´ ecante. On pose
q k =
f(x
(k) ) − f(x
(k−1) )
x (k) − x (k−1)
∀k ≥ 0
(6.13)
d’o` u on d´ eduit, en se donnant deux valeurs initiales x
(−1) et x
(0) , la relation
suivante :
x
(k+1) = x
(k)
−
x
(k)
− x
(k−1)
f(x (k) ) − f(x (k−1) )
f(x
(k) )
∀k ≥ 0.
(6.14)
Compar´ ee ` a la m´ ethode de la corde, la m´ ethode it´ erative (6.14) n´ ecessite
une donn´ ee initiale suppl´ ementaire x
(−1) et f(x
(−1) ), ainsi que, pour chaque
k, le calcul du quotient (6.13). Le b´ en´ efice que l’on tire de cet effort de calcul
suppl´ ementaire est une vitesse de convergence accrue. C’est ce que montre
la propri´ et´ e suivante qui est un premier exemple de th´ eor` eme de convergence
locale (pour la preuve, voir [IK66] p. 99-101).
Propri´ et´ e 6.2 On suppose que f ∈ C
2 (J ) o` u J est un voisinage de la racine
α et que f
(α) = 0. Alors, si les donn´ ees initiales x
(−1) et x
(0) (choisies dans
J ) sont assez proches de α, la suite (6.14) converge vers α avec un ordre
p = (1 +
√
5)/2 1.63.
La m´ ethode de la fausse position. C’est une variante de la m´ ethode de
la s´ ecante dans laquelle, au lieu de prendre la droite passant par les points
(x
(k) , f(x
(k) )) et (x
(k−1) , f(x
(k−1) )), on prend celle passant par (x
(k) , f(x
(k) ))
et (x
(k
) , f(x
(k
) )), k
´ etant le plus grand indice inf´ erieur `
a k tel que f(x
(k
) ) ·