6.2 Une approche g´ eom´ etrique de la d´ etermination des racines
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err=tol+1;
nit=0;
xvect=[]; fx=[]; xdif=[];
while nittol
nit=nit+1;
c=(a+b)/2; x=c; fc=eval(fun); xvect=[xvect;x];
fx=[fx;fc]; x=a;
if fc*eval(fun)>0
a=c;
else
b=c;
end
err=0.5*abs(b-a); xdif=[xdif;err];
end
return
6.2.2 Les m´ ethodes de la corde, de la s´ ecante, de la fausse
position et de Newton
Afin de mettre au point des algorithmes poss´ edant de meilleures propri´ et´ es
de convergence que la m´ ethode de dichotomie, il est n´ ecessaire de prendre en
compte les informations donn´ ees par les valeurs de f et, ´ eventuellement, par
sa d´ eriv´ ee f
(si f est diff´ erentiable) ou par une approximation convenable de
celle-ci.
Ecrivons pour cela le d´ eveloppement de Taylor de f en α au premier ordre.
On obtient alors la version lin´ earis´ ee du probl` eme (6.1)
f(α) = 0 = f(x) + (α − x)f
(ξ),
(6.11)
o` u ξ est entre α et x. L’´ equation (6.11) conduit `
a la m´ ethode it´ erative suivante :
pour tout k ≥ 0, ´ etant donn´ e x
(k) , d´ eterminer x
(k+1) en r´ esolvant l’´ equation
f(x
(k) ) + (x
(k+1)
− x
(k) )q k = 0, o` u q k est une approximation de f
(x
(k) ).
La m´ ethode qu’on vient de d´ ecrire revient ` a chercher l’intersection entre
l’axe des x et la droite de pente q k passant par le point (x
(k) , f(x
(k) )), ce qui
s’´ ecrit
x
(k+1) = x
(k)
− q
−1
k f(x
(k) )
∀k ≥ 0.
Consid´ erons maintenant quatre choix particuliers de q k .
La m´ ethode de la corde. On pose
q k = q =
f(b) − f(a)
b − a
∀k ≥ 0,
d’o` u on d´ eduit la relation de r´ ecurrence suivante (pour une valeur x
(0) donn´ ee) :
x
(k+1) = x
(k)
−
b − a
f(b) − f(a)
f(x
(k) )
∀k ≥ 0 .
(6.12)