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2 e année
Surfaces usuelles
1. Cylindres
1.1 Définitions
Un cylindre de direction D et de courbe directrice C est l'ensemble des droites
parallèles à D et rencontrant C . Ces droites sont les génératrices du cylindre.
On suppose que C n'est pas une courbe plane dont le plan contient D.
Toute section du cylindre par un plan non parallèle à D peut être utilisée comme courbe directrice plane. On dit que c'est une base du
cylindre.
Si le plan de section est orthogonal à D, on obtient une section droite . On parle
alors de cylindre droit de base .
Un cylindre de révolution admet une section droite circulaire.
1.2 Plans tangents
Le plan tangent en un point M d'une génératrice d'un cylindre est défini par
et la tangente à C au point d'intersection de C et de .
C'est le même pour tous les points de .
1.3 Équations
La forme la plus générale de l'équation d'un cylindre est f (P,Q) = 0 où P = 0
et Q = 0 sont les équations de deux plans non parallèles, leur intersection donnant la direction du cylindre.
Avec un repère adapté, l'équation d'un cylindre droit est de la forme g(x,y) = 0.
Un cylindre de révolution peut alors être représenté
• sous forme cartésienne par : x
2
+ y
2
= R
2 ,
• sous forme paramétrique par :
x = R cos θ ; y = R sin θ ; z = z .
Il s'agit des coordonnées cylindriques d'un point de l'espace.
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