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1. Définitions
Soit E un R-espace vectoriel de dimension n. On construit un espace affine
(ensemble de points) V de direction E en se donnant une application :
V × E −→
V
(M,x) → M + x
telle que :
∀A ∈ V
∀(x,y) ∈ E
2
A + (x + y) = (A + x) + y
∀A ∈ V , l'application x → A + x est une bijection de E sur V.
Si A + x = B, on note x =
− →
AB.
Une origine O étant fixée dans V, l'application de A dans E :
M →
− − →
O M
est une bijection.
Le choix d'une origine permet donc d'identifier espace affine et espace vectoriel.
Les éléments de E seront alors indifféremment appelés vecteurs ou points.
2. Sous-espaces affines
2.1 Définitions
A étant un point de E et F un sous-espace vectoriel de E, l'ensemble
W = A + F = {A + x ; x ∈ F}
est un sous-espace affine de E.
W est de direction F et de dimension dim F.
2.2 Parallélisme
Soit deux sous-espaces affines W = A + F et W
= A
+ F
.
On dit que W est parallèle à W
si F est un sous-espace vectoriel de F
.
On dit W et W
sont parallèles entre eux si F = F
.
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1 re année
Espaces affines
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