2.4 Théorème de Gauss
Soit a, b, c trois entiers relatifs tels que a divise bc, et a premier avec b.
Alors a divise c.
3. Anneau Z/nZ
3.1 Congruences dans Z
Soit n ∈ N
∗ . La relation binaire dans Z :
a et b ont le même reste dans la division par n ⇐⇒ n/(a − b)
se note a ≡ b (mod n) ; lire : a congrue à b modulo n.
On écrit Z/nZ pour désigner l'ensemble des classes ainsi formées par regroupement :
a = {b ∈ Z ; a ≡ b (mod n)} .
3.2 Propriétés algébriques de Z/nZ
• Structure
Pour n 2, Z/nZ muni des deux lois :
a + b = a + b ; a × b = a × b
est un anneau commutatif.
• Éléments inversibles
Un élément a de Z/nZ est inversible si, et seulement si, a et n sont premiers
entre eux.
• Cas particulier
Z/nZ est un corps si, et seulement si, n est premier.
• Indicatrice d'Euler
C'est le nombre ϕ(n) des entiers compris entre 1 et n − 1 et premiers avec n.
Si n est premier, alors ϕ(n) = n − 1.
3.3 Théorèmes
• Théorème d'Euler
Si a et n sont premiers entre eux avec n 2, on a :
a
ϕ(n)
≡ 1 (mod n) .
Arithmétique dans Z
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