3. Recouvrement, partition
• Un recouvrement d'une partie A de E est une famille de parties de E dont la
réunion contient A.
• Une partition d'un ensemble E est une famille de parties non vides de E, deux
à deux disjointes, et dont la réunion est E.
4. Propriétés des opérations dans P(E)
Pour toutes parties A, B et C de E, on a les propriétés qui suivent.
• Complémentaire
E = ∅ ; ∅ = E ; A = A ; si A ⊂ B alors B ⊂ A .
• Lois de de Morgan
A ∩ B = A ∪ B ; A ∪ B = A ∩ B .
• Réunion
A ∪ B = B ∪ A ; A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∪ A = A ; A ∪ ∅ = A ; A ∪ E = E .
• Intersection
A ∩ B = B ∩ A ; A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
A ∩ A = A ; A ∩ ∅ = ∅ ; A ∩ E = A .
• Réunion et intersection
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
5. Produit cartésien
Le produit des ensembles A et B est l'ensemble, noté A × B, des couples (a,b)
où a ∈ A et b ∈ B.
Attention, le couple (b,a) est différent du couple (a,b), sauf si a = b.
Plus généralement, le produit cartésien de n ensembles E i est :
E 1 × · · · × E n = {(x 1 ,. . . ,x n ) ; x 1 ∈ E 1 ,. . . ,x n ∈ E n } .
Si E 1 = · · · = E n = E , on le note E
n .
Ensembles
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