2.1 Existence et continuité
S'il existe une fonction positive g définie, continue par morceaux et sommable sur
]a,+∞[, et qui vérifie :
∀x ∈ I
∀t ∈ ]a,+∞[
| f (x,t)| g(t)
alors F existe et est continue sur I .
2.2 Dérivabilité
Supposons en plus que f admette une dérivée partielle
∂ f
∂ x
continue sur
I ×]a,+∞[ et qu'il existe une fonction positive h définie, continue par morceaux
et sommable sur ]a,+∞[, et qui vérifie :
∀x ∈ I
∀t ∈ ]a,+∞[
∂ f
∂ x
(x,t)
h(t)
alors F est de classe C
1 sur I et F
(x) =
+∞
a
∂ f
∂ x
(x,t) dt .
2.3 Remarques
• Le théorème précédent se généralise pour les dérivées successives de F.
• Pour la continuité et les dérivabilités successives, il suffit d'établir les hypothèses de domination du type | f (x,t)| g(t) sur tout segment de I .
3. Fonction gamma
• Définition
La fonction est définie sur ]0,+∞[ par :
(x) =
+∞
0
e
−t t
x−1 dt .
• Formule de récurrence
∀x ∈ ]0,+∞[
(x + 1) = x (x)
En particulier, pour n ∈ N :
(n) = (n − 1)!
Fonctions définies par une intégrale
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