Exercice 4.5 : Tétraèdre régulier
Soit ABC D un tétraèdre régulier d’arête a > 0. Soit G son isobarycentre et H
celui du triangle ABC.
1. Montrer que H, A et G sont alignés en précisant leurs positions relatives.
2. Montrer que (H D) est orthogonale au plan (ABC).
3. Exprimer H A, H B, HC, H D, G A, G B, GC et G D en fonction de a.
4. Calculer
− →
G A ·
− →
G B ; en déduire une mesure de l’angle
AG B en fonction d’arccosinus.
5. Application numérique : exprimer cet angle en degrés et minutes. Commenter.
1. Les points H et G sont définis par des relations vectorielles. Nous allons donc
essayer d’obtenir une traduction vectorielle de l’alignement des points H, A et G en
partant de la définition des barycentres et en se servant, comme toujours dans cette
situation, de la relation de Chasles.
Par définition des isobarycentres on a les deux égalités :
− →
G A +
− →
G B +
− →
GC +
−→
G D =
0
−→
H A +
−→
H B +
−→
HC =
0.
En introduisant H dans la première de ces relations il vient
4
−→
G H +
−→
H A +
−→
H B +
−→
HC +
−→
H D =
0
ce qui, d’après la seconde relation, se simplifie en 4
−→
G H +
−→
H D =
0 , soit
encore
−→
H D = 4
−→
H G . Ainsi, les points H, G et D sont alignés dans cet
ordre, la longueur H D étant quatre fois plus grande que H G.
Encore une fois, comme dans l’exercice 4.3, on voit que les relations vectorielles,
combinées à l’usage de la relation de Chasles, permettent non seulement de montrer que des points sont alignés mais aussi de déterminer leurs positions relatives
et les différents rapports de longueur.
2. Il suffit de montrer que
−→
H D est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires portés par le plan (ABC), par exemple
− →
AB et
− →
AC . Pour calculer ces produits scalaires,
nous verrons que la relation de Chasles est encore bien utile.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
71
Chapitre 4 • Géométrie
9782100547678-Fresl-C4.qxd 5/07/10 9:13 Page 71
Soit ABC D un tétraèdre régulier d’arête a > 0. Soit G son isobarycentre et H
celui du triangle ABC.
1. Montrer que H, A et G sont alignés en précisant leurs positions relatives.
2. Montrer que (H D) est orthogonale au plan (ABC).
3. Exprimer H A, H B, HC, H D, G A, G B, GC et G D en fonction de a.
4. Calculer
− →
G A ·
− →
G B ; en déduire une mesure de l’angle
AG B en fonction d’arccosinus.
5. Application numérique : exprimer cet angle en degrés et minutes. Commenter.
1. Les points H et G sont définis par des relations vectorielles. Nous allons donc
essayer d’obtenir une traduction vectorielle de l’alignement des points H, A et G en
partant de la définition des barycentres et en se servant, comme toujours dans cette
situation, de la relation de Chasles.
Par définition des isobarycentres on a les deux égalités :
− →
G A +
− →
G B +
− →
GC +
−→
G D =
0
−→
H A +
−→
H B +
−→
HC =
0.
En introduisant H dans la première de ces relations il vient
4
−→
G H +
−→
H A +
−→
H B +
−→
HC +
−→
H D =
0
ce qui, d’après la seconde relation, se simplifie en 4
−→
G H +
−→
H D =
0 , soit
encore
−→
H D = 4
−→
H G . Ainsi, les points H, G et D sont alignés dans cet
ordre, la longueur H D étant quatre fois plus grande que H G.
Encore une fois, comme dans l’exercice 4.3, on voit que les relations vectorielles,
combinées à l’usage de la relation de Chasles, permettent non seulement de montrer que des points sont alignés mais aussi de déterminer leurs positions relatives
et les différents rapports de longueur.
2. Il suffit de montrer que
−→
H D est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires portés par le plan (ABC), par exemple
− →
AB et
− →
AC . Pour calculer ces produits scalaires,
nous verrons que la relation de Chasles est encore bien utile.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
71
Chapitre 4 • Géométrie
9782100547678-Fresl-C4.qxd 5/07/10 9:13 Page 71