D’autre part, on a
− →
G A = −2
− − →
G A
. En introduisant par relation de Chasles O
dans le membre de gauche et dans celui de droite il vient
−→
G O +
−→
O A = −2
−→
G − 2
−→
A
.
Or on a
−→
O = 3
−→
G , d’où l’on tire
−→
G O = 2
−→
G et, en remplaçant, il vient
−→
O A = −2
−→
A
. On a donc
−−→
K A = −
−→
A
9. Il n’y a pratiquement rien à dire : les questions précédentes affirment que tous ces
points sont sur .
La question précédente montre que K A = A , i.e. que le cercle circonscrit à K A K B K C et ont même rayon. K A , K B et K C sont donc bien sur .
En fait, on a même montré que K A et A sont des points de diamétralement opposés (idem avec B et C).
Les neufs points en question sont tous sur le cercle et sont donc cocycliques.
Le cercle , qui contient ces points, est le cercle des neufs points du triangle, aussi
appelé cercle d’Euler. Comme souvent, la paternité de sa découverte n’est pas
rigoureusement établie et il est également appelé cercle de Feuerbach ou de
Steiner.
70
Partie 1 • Première période
A
H
Ω G
O
B
B'
A'
C'
C
H C
H A
K A
H B
K C
K B
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