3
1
2
(1 +
23/27) +
3
1
2
(1 −
23/27).
L’étude de la fonction x → x 3 − x − 1 montre qu’il n’y en a pas d’autre.
En effet, soit la fonction f définie sur R par
f (x) = x
3
− x − 1.
f est dérivable et, pour tout réel x :
f
(x) = 3x
2
− 1 = 3
x
2
−
1
3
= 3
x +
1
√
3
x −
1
√
3
.
Ainsi, f est strictement positive sur ] − ∞; −
1
√
3
[ et ]
1
√
3
; +∞[ et strictement
négative sur ] −
1
√
3
;
1
√
3
[.
Il reste à déterminer les valeurs de f en ±
1
√
3
et, plus précisément, leur signe, afin
de savoir combien de fois f s’annule sur R.
En réduisant les fractions au même dénominateur on obtient
f
−
1
√
3
=
−
1
√
3
3
+
1
√
3
− 1 =
−1 + 3 − 3
√
3
3
√
3
< 0.
et
f
1
√
3
=
1
√
3
3
−
1
√
3
− 1 =
1 − 3 − 3
√
3
3
√
3
< 0.
Nous pouvons dresser le tableau de variations de f :
x
−∞
−
1
√
3
1
√
3
+∞
f
(x)
+
0
−
0
+
2−3
√
3
3
√
3
+∞
f (x)
−∞
−
2+3
√
3
3
√
3
Les valeurs prises en ±
1
√
3
étant strictement négatives, nous en déduisons que f
s’annule une unique fois sur R. Autrement dit, il existe un unique réel x vérifiant
x 3 = x + 1 (et le tableau permet également d’affirmer que, de plus, x > 1/
√
3).
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Partie 1 • Première période
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