2. Il suffit de tout multiplier par 4.
De la relation
147 × 64 + 495 × (−19) = 3
on tire, en multipliant par 4 :
147 × 256 + 495 × (−76) = 12.
Le couple (x 0 ,y 0 ) = (256,−76) convient donc.
3. L’idée est analogue à celle utilisée pour résoudre les équations différentielles dont
le second membre n’est pas nul : en soustrayant la relation 147x 0 + 495y 0 = 12 à
147x + 495y = 12, on se ramène à une équation « homogène ».
Soit un couple (x,y) convenant. Alors
147x + 495y = 12 = 147x 0 + 495y 0
d’où, en soustrayant les deux relations :
147(x − x 0 ) = 495(y 0 − y).
Le problème est que 147 et 495 ne sont pas premiers entre eux : le lemme de Gauβ
ne s’applique donc pas… Mais on peut toujours diviser la relation par leur pgcd afin
de pouvoir l’utiliser !
En divisant par pgcd(147,495) = 3 on obtient
49(x − x 0 ) = 165(y 0 − y)
et pgcd(49,165) = 1.
Ainsi, 165 divise 49(x − x 0 ) ; comme 49 et 165 sont premiers entre eux,
165 divise donc x − x 0 . Ainsi, il existe un entier relatif k tel que
x = x 0 + 165k.
En reportant, il vient 49(x − x 0 ) = 49 × 165k, soit
49 × 165k = 165(y 0 − y)
et enfin, en simplifiant par 165 :
y = y 0 − 49k.
258
Partie 3 • Algèbre
9782100547678-Fresl-C11.qxd 5/07/10 8:49 Page 258