• Remarquons que, quel que soit θ ∈ I, on a
ρ (θ + 2π) = tan
θ
2
+ π
= ρ(θ).
Par conséquent, il nous suffit d’étudier la fonction ρ sur un intervalle de
longueur 2π.
• Remarquons encore que, quel que soit θ ∈ I, on a
ρ(−θ) = −ρ(θ).
On passe donc du point de coordonnées polaires (ρ(θ),θ) au point de coordonnées
polaires (ρ(−θ),−θ) en effectuant une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.
Cela nous permet de restreindre l’intervalle d’étude à [0,π[.
Étude sur l’intervalle [0,π[
Quel que soit θ ∈ [0,π[, on a θ/2 ∈ [0,π/2[ :
ρ(θ) = tan
θ
2
0.
• Étudions, à présent, le point correspondant à θ = 0. Ce point s’écrit (0,0) en coordonnées polaires et donc (0,0) en coordonnées cartésiennes. Puisque ρ(0) est nul,
nous savons que la tangente en ce point est dirigée par le vecteur
u 0 .
• Remarquons que la limite de ρ(θ) lorsque θ tend vers π par valeurs inférieures est
égale à +∞. Par conséquent, la courbe C possède une direction asymptotique horizontale dans le repère (0, u π , v π ).
Notons la droite passant par l’origine du repère et dirigée par le vecteur
u π . C’est
la droite d’équation y = 0. L’asymptote éventuelle est la droite + k
v π où
k = lim
θ→π −
ρ(θ)sin(θ − π).
Quel que soit θ ∈ [0,π[, on a
ρ(θ)sin(θ − π) = −tan
θ
2
sin(θ) = −2sin
2
θ
2
.
Par conséquent, k = −2. On en déduit que l’asymptote est la droite d’équation
y = 2.
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Chapitre 9 • Courbes paramétrées
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