En utilisant la relation cos 2 (t) = 1 − sin
2
(t) on voit que :
π
2
0
sin
n
(t)cos
2
(t)dt =
π
2
0
sin
n
(t)dt −
π
2
0
sin
n+2
(t)dt = I n − I n+2
d’où, en remplaçant dans la première relation :
I n+2 = (n + 1)(I n − I n+2 )
d’où l’on tire la relation désirée :
I n+2 =
n + 1
n + 2
I n .
2. Nous devons visiblement utiliser la croissance de l’intégrale, i.e. intégrer une
inégalité entre les fonctions.
Il est ensuite demandé de montrer que I n+1 ∼ I n . Une possibilité intéressante est de
montrer que lim
n→∞
I n+1
I n
= 1 : en effet, les inégalités précédemment obtenues
devraient nous permettre d’utiliser le théorème d’encadrement.
Pour tout t ∈ [0,π/2] et n ∈ N on a sin
n+1
(t) sin
n
(t) d’où, en intégrant
sur [0,π/2], I n+1 I n : la suite (I n ) n∈N est donc décroissante.
De plus, étant donné n ∈ N, la fonction sin
n est continue, positive et non
identiquement nulle sur [0,π/2]. Son intégrale sur [0,π/2] est donc strictement positive, i.e. : I n > 0.
Enfin, pour tout n ∈ N : I n+2 I n+1 I n . En divisant par I n , qui est strictement positif, et en utilisant la relation de récurrence établie dans la première question, on obtient :
n + 1
n + 2
I n+1
I n
1
d’où, d’après le théorème d’encadrement, lim
n→∞
I n+1
I n
= 1, soit encore :
I n+1 ∼ I n .
Il y a effectivement quelque chose à démontrer ici : en effet, étant donnée une suite
(u n ) n∈N , on n’a pas forcément u n+1 ∼ u n (considérer par exemple u n = 2 n ).
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Partie 2 • Analyse
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