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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Exercice 8.1 : Intégrales de Wallis
Pour n ∈ N on pose I n =
π
2
0
sin
n
(t)dt.
1. Établir une relation de récurrence entre I n et I n+2 .
2. Montrer que (I n ) n∈N est décroissante, strictement positive, puis que I n+1 ∼ I n .
3. En considérant le produit (n + 1)I n+1 I n déterminer un équivalent simple de I n
quand n tend vers +∞.
4. Montrer que, pour tout n ∈ N :
I 2n =
(2n)!
(2 n n!) 2
π
2
.
Ce dernier calcul n’utilise que la relation de la première question.
1. Les relations de récurrence entre les termes d’une suite définie par des intégrales
peuvent très souvent s’obtenir à l’aide d’une intégration par parties.
Écrivons sin
n+2
(t) = sin
n+1
(t)sin(t) et intégrons par parties en primitivant
sin(t) et dérivant sin
n+1
(t) :
I n+2 =
−sin
n+1
(t)cos(t)
π
2
0 + (n + 1)
π
2
0
sin
n
(t)cos
2
(t)dt.
Intégration
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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Exercice 8.1 : Intégrales de Wallis
Pour n ∈ N on pose I n =
π
2
0
sin
n
(t)dt.
1. Établir une relation de récurrence entre I n et I n+2 .
2. Montrer que (I n ) n∈N est décroissante, strictement positive, puis que I n+1 ∼ I n .
3. En considérant le produit (n + 1)I n+1 I n déterminer un équivalent simple de I n
quand n tend vers +∞.
4. Montrer que, pour tout n ∈ N :
I 2n =
(2n)!
(2 n n!) 2
π
2
.
Ce dernier calcul n’utilise que la relation de la première question.
1. Les relations de récurrence entre les termes d’une suite définie par des intégrales
peuvent très souvent s’obtenir à l’aide d’une intégration par parties.
Écrivons sin
n+2
(t) = sin
n+1
(t)sin(t) et intégrons par parties en primitivant
sin(t) et dérivant sin
n+1
(t) :
I n+2 =
−sin
n+1
(t)cos(t)
π
2
0 + (n + 1)
π
2
0
sin
n
(t)cos
2
(t)dt.
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