Sommaire
Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VII
Symboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VIII
Chapitre ll. - Séries numériques, séries dans les espaces
vectoriels normés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1. Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2. Séries à termes réels positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3. Critères de convergence pour les séries de terme général
positif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
4. Critères de convergence des séries à valeurs réelles ou
complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
5. Opérations algébriques sur les séries . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
6. Le «fin du fin» sur les séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
Exercices, solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
Chapitre 12. - Espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
1. Convergence simple, convergence uniforme . . . . . . . . . . . .
69
2. Séries de fonctions ......... ·..........................
81
3. Un espace fonctionnel: fonctions réglées . . . . . . . . . . . . . .
86
4. Théorème de Stone Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
5. Fonctions définies par des intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104
Exercices, solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
108
Chapitre 13. - Séries entières. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
135
1. Définitions, domaine de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . .
135
2. Propriétés des séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
139
3. Développements en série entière : analycité . . . . . . . . . . .
146
4. Développements en série entière des fonctions usuelles :
cas réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
150
5. Fonctions élémentaires de variable complexe . . . . . . . . . .
156
6. Théorème d'interversion des limites, retour sur l'analycité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
163
7. Un peu de variable complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
177
Exercices, solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
194