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Continuité des applications linéaires
Signalons que l'on peut visualiser une fonction de IR 2 dans IRP en représentant
séparément chacune des p fonctions composantes.
9.3 Continuité des applications linéaires
Si (E, NE) et (F, NF) sont deux IK-espaces vectoriels normés, on dit que l'application f de E dans F est continue si :
Vxo E E Vê E IR+ 377 E IR+ Vx E E
(NE (x - xo) � 17 =? Np (f(x) - f(xo)) � ê) .
Cette assertion correspond à la définition 9.5 où les distances considérées sur E
et F sont celles subordonnées aux normes NE et NF respectivement.
Dans le cas où E (resp. F) est un IK-espace vectoriel de dimension finie, toutes
les normes sur E (resp. F) sont équivalentes. Comme la notion de continuité
est inchangée par le choix de distances équivalentes, il n'est pas nécessaire en
dimension finie de préciser la norme qui a été choisie. On prendra garde au fait
qu'une application linéaire entre IK-espaces vectoriels de dimension infinie peut
être continue pour un certain choix de normes et non continue pour un autre
choix de normes sur ces espaces.
PROPOSITION 9.22 Soit (E, N) un IK-espace vectoriel normé; l'application
N : x E E 1--+ N(x) est continue de (E, N) dans (IR, 1 1) .
Démonstration Si x et y désignent deux éléments de E, on a
N(x) � N(y) + N(x - y) et N(y) � N(x) + N(x - y).
On en déduit que
-N(x - y) � N(x) - N(y) � N(x - y),
autrement dit, que IN(x) - N(y)I � N(x - y). Ainsi, N est une application
lipschitzienne de rapport 1; d'après la proposition 9.16, elle est continue. 0
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Continuité des applications linéaires
Signalons que l'on peut visualiser une fonction de IR 2 dans IRP en représentant
séparément chacune des p fonctions composantes.
9.3 Continuité des applications linéaires
Si (E, NE) et (F, NF) sont deux IK-espaces vectoriels normés, on dit que l'application f de E dans F est continue si :
Vxo E E Vê E IR+ 377 E IR+ Vx E E
(NE (x - xo) � 17 =? Np (f(x) - f(xo)) � ê) .
Cette assertion correspond à la définition 9.5 où les distances considérées sur E
et F sont celles subordonnées aux normes NE et NF respectivement.
Dans le cas où E (resp. F) est un IK-espace vectoriel de dimension finie, toutes
les normes sur E (resp. F) sont équivalentes. Comme la notion de continuité
est inchangée par le choix de distances équivalentes, il n'est pas nécessaire en
dimension finie de préciser la norme qui a été choisie. On prendra garde au fait
qu'une application linéaire entre IK-espaces vectoriels de dimension infinie peut
être continue pour un certain choix de normes et non continue pour un autre
choix de normes sur ces espaces.
PROPOSITION 9.22 Soit (E, N) un IK-espace vectoriel normé; l'application
N : x E E 1--+ N(x) est continue de (E, N) dans (IR, 1 1) .
Démonstration Si x et y désignent deux éléments de E, on a
N(x) � N(y) + N(x - y) et N(y) � N(x) + N(x - y).
On en déduit que
-N(x - y) � N(x) - N(y) � N(x - y),
autrement dit, que IN(x) - N(y)I � N(x - y). Ainsi, N est une application
lipschitzienne de rapport 1; d'après la proposition 9.16, elle est continue. 0