Séries numériques
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D'ALEMBERT, Jean Le Rond (1717, Paris - 1783, Paris).
Fils naturel du chevalier Destouches et de Mme de Tencin
qui l'abandonna dès sa naissance sur les marches de l'église
Saint-Jean-Le-Rond à Paris dont on lui donna le nom. Géomètre et mathématicien, il entra à !'Académie des Sciences
à 23 ans. Ami de Diderot (avec qui il codirigea l'Encyclopédie) et de Voltaire, D'Alembert fut l'un des mathématiciens
et physiciens les plus renommés du 18" siècle. Il fut élu le
28 novembre 1754 à l'Académie Française
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Exemple Considérons la série de terme général Un = ( sh ( �))
n dont la
convergence a été établie à l'exercice 1.11. Pour cette série on a
f, = limn_, + 00 y'jUJ = 0 et pour tout p E N avec p ?: 2 on a {!îU;î E]O, 1 [. Prenons r = {!îU;î où p ?: 2. Comme la suite de terme général y'jUJ = sh ( �)
n
est décroissante, pour tout k ?: p on a
La relation (8) fournit pour cet exemple la majoration suivante du reste d'ordre p
pour p ?: 2:
sh( ! ) P ( P +l)
IRvl :::; ; 1 __'.'sh( ! ) P .
p
Utilisons MAPLE pour obtenir une valeur approchée de la somme de la série.
> u := n-> (sinh (l/n) )-(n-2) :
> R := n-> ( sinh(1/n) -(n* (n+1 ))*sinh(1/n) -n/ (sinh(1/n) -n- 1) ) :
> evalf (R(4) );
-.4578050998 E- 14
> Digits :=16 : seq (evalf (sum(u (n) ,n=1 .. N) ),N=2 . . 4) ;
1.248935337621633 , 1.248995320170124 , 1.248995320445086
Le reste d'ordre 4 vaut environ 10 - 14 . La convergence de la série est donc
extrêmement rapide et U 4
=
1.248995320445086 constitue une très bonne approximation de la somme de la série.
<39> http ://www . academie-francaise . fr/immortels/