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Séries absolument convergentes
Le critère de Cauchy permet de déterminer la nature des séries de Bertrand
L: n� 2 n Q ( h;( n)) /3 en fonction des valeurs de a et /3. Nous avons montré à la
p. 15 que si (un)n désignait une suite décroissante de réels strictement positifs
et p E N avec p � 2 alors les sé�ies de terme général Un et Vn = a n upn étaient
de même nature.
Posons Un = n - " ln(n) -13 pour n � 2. Pour a > 0 ou, pour a = 0 et f3 > 0,
la suite ( un)n est bien une suite décroissante de réels strictement positifs <37> .
Dans tous les autres cas, comme ( un)n ne converge pas vers 0, il y a divergence
grossière de la série L: n Un. Pour tout n E N, on a
Étudions la nature de la série L: n Vn en ayant recours au critère de Cauchy :
On en déduit que R = limn__, + 00 v'iVJ = p 1 - "' . Cette limite est strictement
inférieure à 1 si et seulement si a > 1 et elle est strictement supérieure à 1 si
et seulement si a < 1 . On en conclut que la série de Bertrand I: n� 2 n Q ( h;( n ))iJ
converge si a > 1 et diverge si a< 1 et cela quelle que soit la valeur de (3.
Exercice 1.11
En utilisant le critère de Cauchy, déterminer la nature
de la série L: n Un de terme général :
l
1 - Un = ( 2n: 1 ) 2 n
2 - Un = (n n�: ) n
3 - Un = (sh (;�Jr 2
Majoration du reste d'une série dont la convergence absolue a été établie par
la règle de Cauchy
Soit En Un une série numérique convergente de somme U· telle que
R = limn__, + 00 \liUJ < 1. Pour tout r E]R, 1[, il existe un entier naturel N
tel que pour tout entier k � N on ait <3 8 > � :::; ; r, i.e. l u k l :::; ; r k . On en
déduit que pour tout n � N on a : ·
(8)
la dernière relation étant obtenue en remarquant que l'on a le reste d'ordre n
d'une série géométrique de raison r. La relation (8) fournit une majoration du
reste Rn de la série numérique (pour n � N).
<37> Pour l'établir, on pourra étudier l'application x E [2, +oo[,_, x-o: ln(x) - .B et montrer
qu'il s'agit d'une application strictement positive et décroissante.
<3 B > Voir la définition 5.1 p. 168 du Cours de première année ; on prend e = r - l.
Séries absolument convergentes
Le critère de Cauchy permet de déterminer la nature des séries de Bertrand
L: n� 2 n Q ( h;( n)) /3 en fonction des valeurs de a et /3. Nous avons montré à la
p. 15 que si (un)n désignait une suite décroissante de réels strictement positifs
et p E N avec p � 2 alors les sé�ies de terme général Un et Vn = a n upn étaient
de même nature.
Posons Un = n - " ln(n) -13 pour n � 2. Pour a > 0 ou, pour a = 0 et f3 > 0,
la suite ( un)n est bien une suite décroissante de réels strictement positifs <37> .
Dans tous les autres cas, comme ( un)n ne converge pas vers 0, il y a divergence
grossière de la série L: n Un. Pour tout n E N, on a
Étudions la nature de la série L: n Vn en ayant recours au critère de Cauchy :
On en déduit que R = limn__, + 00 v'iVJ = p 1 - "' . Cette limite est strictement
inférieure à 1 si et seulement si a > 1 et elle est strictement supérieure à 1 si
et seulement si a < 1 . On en conclut que la série de Bertrand I: n� 2 n Q ( h;( n ))iJ
converge si a > 1 et diverge si a< 1 et cela quelle que soit la valeur de (3.
Exercice 1.11
En utilisant le critère de Cauchy, déterminer la nature
de la série L: n Un de terme général :
l
1 - Un = ( 2n: 1 ) 2 n
2 - Un = (n n�: ) n
3 - Un = (sh (;�Jr 2
Majoration du reste d'une série dont la convergence absolue a été établie par
la règle de Cauchy
Soit En Un une série numérique convergente de somme U· telle que
R = limn__, + 00 \liUJ < 1. Pour tout r E]R, 1[, il existe un entier naturel N
tel que pour tout entier k � N on ait <3 8 > � :::; ; r, i.e. l u k l :::; ; r k . On en
déduit que pour tout n � N on a : ·
(8)
la dernière relation étant obtenue en remarquant que l'on a le reste d'ordre n
d'une série géométrique de raison r. La relation (8) fournit une majoration du
reste Rn de la série numérique (pour n � N).
<37> Pour l'établir, on pourra étudier l'application x E [2, +oo[,_, x-o: ln(x) - .B et montrer
qu'il s'agit d'une application strictement positive et décroissante.
<3 B > Voir la définition 5.1 p. 168 du Cours de première année ; on prend e = r - l.