Limite et continuité
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Remarques
1. D'après la définition 9.1, une application f de D dans F est continue en
xo ED si J�n,1
0
d F(f(x), f(xo)) =O.
xED
2. La propriété de continuité d'une application de E dans F n'est pas modifiée
si l'on change les distances sur E et sur F par des distances équivalentes ( i 3 > .
3. Si f n'est pas continue en xo, on dit que f est discontinue en xo. Cela se
traduit par :
3c E !R'f. ' c ) .
4. Dans le cas où (E, 11 · /IE) et (F, 11 · llF ) sont deux OC-espaces vectoriels normés,
la définition 9.5 indique qu'une application f d'un sous-ensemble D de E à
valeurs dans F est continue en x0 E D si
V e E !R'f. 317 E !R'f. ' ll f(x) - f(xo) llF � c ) .
Par ailleurs, dans le cas où les OC-espaces vectoriels sont de dimension finie,
toutes les normes étant équivalentes, en pratique on choisit celle pour laquelle
l'assertion précédente est la plus aisée à établir.
o
Exemples
1. Toute application constante de E dans F est continue sur E puisque pour
tous € E IR't et (x, xo) E E 2 on a d F (f(x), f(xo)) = 0 � €.
2. Montrons que l'application f : (x1 , x 2 ) E OC 2
i---; x1 + x 2 E OC où OC est
muni de la distance usuelle et OC 2 de la distance subordonnée à la norme infinie
(xi, x 2 ) E OC 2 i---; max( l x1 1 , l x 2 1), notée li · 1100, est une application continue. Soit
y = (yi, Y 2 ) E OC 2 ; on a pour tout x = (x1 , x 2 ) E OC 2
l f(x1 ,x 2 ) - f(Y J , Y 2 ) I
l x1 - y1 + X 2 - y 2 I � l x1 - y1 I + l x 2 - y 2 I
� 2 ll x - Ylloo·
On en déduit que pour tout € E IR'f_, il existe un réel 17 = �€ tel que pour tout
x E OC 2 avec ll x - Ylloo � 17 on ait
l f(xi, x 2 ) - f(yi, Y 2 ) I � 2 ll x - Ylloo � 2 � € = €.
L'application f est donc continue en (yi, y 2 ) E OC 2 pour tout (y1 , y 2 ) E OC 2 .
3. Munissons E = C 0 ([0, 1], JR) de la distance subordonnée à la norme de la
convergence uniforme f E E i---; sup x E [ O,I ) l f(x)I , notée 11 · lloo , et 1R de la distance
usuelle. Montrons que l'application f : cp E E i---; f 0
1 cos(cp(x)) dx E lR est
une application continue sur E. Il s'agit de montrer que pour tout cp0 E E,
l'application f est continue en
(la) " .
536
1 .
'fi
.
vmr p.
pour a JUStJ cat10n.
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Remarques
1. D'après la définition 9.1, une application f de D dans F est continue en
xo ED si J�n,1
0
d F(f(x), f(xo)) =O.
xED
2. La propriété de continuité d'une application de E dans F n'est pas modifiée
si l'on change les distances sur E et sur F par des distances équivalentes ( i 3 > .
3. Si f n'est pas continue en xo, on dit que f est discontinue en xo. Cela se
traduit par :
3c E !R'f. ' c ) .
4. Dans le cas où (E, 11 · /IE) et (F, 11 · llF ) sont deux OC-espaces vectoriels normés,
la définition 9.5 indique qu'une application f d'un sous-ensemble D de E à
valeurs dans F est continue en x0 E D si
V e E !R'f. 317 E !R'f. '
Par ailleurs, dans le cas où les OC-espaces vectoriels sont de dimension finie,
toutes les normes étant équivalentes, en pratique on choisit celle pour laquelle
l'assertion précédente est la plus aisée à établir.
o
Exemples
1. Toute application constante de E dans F est continue sur E puisque pour
tous € E IR't et (x, xo) E E 2 on a d F (f(x), f(xo)) = 0 � €.
2. Montrons que l'application f : (x1 , x 2 ) E OC 2
i---; x1 + x 2 E OC où OC est
muni de la distance usuelle et OC 2 de la distance subordonnée à la norme infinie
(xi, x 2 ) E OC 2 i---; max( l x1 1 , l x 2 1), notée li · 1100, est une application continue. Soit
y = (yi, Y 2 ) E OC 2 ; on a pour tout x = (x1 , x 2 ) E OC 2
l f(x1 ,x 2 ) - f(Y J , Y 2 ) I
l x1 - y1 + X 2 - y 2 I � l x1 - y1 I + l x 2 - y 2 I
� 2 ll x - Ylloo·
On en déduit que pour tout € E IR'f_, il existe un réel 17 = �€ tel que pour tout
x E OC 2 avec ll x - Ylloo � 17 on ait
l f(xi, x 2 ) - f(yi, Y 2 ) I � 2 ll x - Ylloo � 2 � € = €.
L'application f est donc continue en (yi, y 2 ) E OC 2 pour tout (y1 , y 2 ) E OC 2 .
3. Munissons E = C 0 ([0, 1], JR) de la distance subordonnée à la norme de la
convergence uniforme f E E i---; sup x E [ O,I ) l f(x)I , notée 11 · lloo , et 1R de la distance
usuelle. Montrons que l'application f : cp E E i---; f 0
1 cos(cp(x)) dx E lR est
une application continue sur E. Il s'agit de montrer que pour tout cp0 E E,
l'application f est continue en
(la) " .
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vmr p.
pour a JUStJ cat10n.