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Limite et continuité dans un espace métrique
Applications bornées
DÉFINITION 9.4 Soient X un ensemble et (F, dp) un espace métrique. Un e
application f de X dans F est dite bornée si l 'ensemble f (X) est borné
d F . ,( 12)
ans , i.e. si
3yo E F 3M E JR + \lx EX dp(f(x),yo) � M.
Remarque Si F est un OC-espace vectoriel muni de la norme NF alors une
application f de X dans F est bornée si
3M E JR + 't:/x EX Np (f(x)) � M.
Cette assertion est obtenu en prenant dans la définition 9.4 pour y0 le vecteur
n� Op.
o
PROPOSITION 9. 7 Soient (E, dE) et (F, dp) deux espaces métriques, D un
sous-ensemble de E et f une application de D dans F. Si f admet une limite
en x0 E D alors f est bornée au voisinage de xo.
Démonstration Notons e E Fla limite de f en Xo; d'après la définition 9.1
considérée avec e = 1, on a :
377 E IR� 't:/ x ED (dE(x,xo) � 77 ===? dp(f(x),f) � 1 ) .
En introduisant l'ensemble V = {x E D ; dE(x, xo) � 77} = B(xo, 17) n D qui
est un voisinage de xo, l'assertion précédente indique que pour tout x E V on
a dp(f(x), f) � 1. L'application f est donc bornée sur V.
D
9.1.2 Continuité d'une fonction
Soient f une application de D dans F et x0 un élément de D. Lorsque la limite
en xo de f est égale à f(xo), on dit que f est continue en Xo. Plus précisément,
on a la définition suivante.
DÉFINITION 9.5 Soient (E, dE) et (F, dp) deux espaces métriques, D un
sous-ensemble de E et f une application de D dans F.
X On dit que f est continue en xo E D si
Ve E IR� 377 E IR� \lx ED (dE(x,xo) � 77 ===? dp(f(x), f(xo)) � e).
X On dit que f est continue sur D si pour tout xo E D, f est continue en xo .
Étant donné deux espaces métriques (E, dE) et (F, dp ), on note C 0 (D, F) l'ensemble des applications continues de D dans F où D est un sous-ensemble de E.
<12> Voir la définition 7.11 p. 382.
Limite et continuité dans un espace métrique
Applications bornées
DÉFINITION 9.4 Soient X un ensemble et (F, dp) un espace métrique. Un e
application f de X dans F est dite bornée si l 'ensemble f (X) est borné
d F . ,( 12)
ans , i.e. si
3yo E F 3M E JR + \lx EX dp(f(x),yo) � M.
Remarque Si F est un OC-espace vectoriel muni de la norme NF alors une
application f de X dans F est bornée si
3M E JR + 't:/x EX Np (f(x)) � M.
Cette assertion est obtenu en prenant dans la définition 9.4 pour y0 le vecteur
n� Op.
o
PROPOSITION 9. 7 Soient (E, dE) et (F, dp) deux espaces métriques, D un
sous-ensemble de E et f une application de D dans F. Si f admet une limite
en x0 E D alors f est bornée au voisinage de xo.
Démonstration Notons e E Fla limite de f en Xo; d'après la définition 9.1
considérée avec e = 1, on a :
377 E IR� 't:/ x ED (dE(x,xo) � 77 ===? dp(f(x),f) � 1 ) .
En introduisant l'ensemble V = {x E D ; dE(x, xo) � 77} = B(xo, 17) n D qui
est un voisinage de xo, l'assertion précédente indique que pour tout x E V on
a dp(f(x), f) � 1. L'application f est donc bornée sur V.
D
9.1.2 Continuité d'une fonction
Soient f une application de D dans F et x0 un élément de D. Lorsque la limite
en xo de f est égale à f(xo), on dit que f est continue en Xo. Plus précisément,
on a la définition suivante.
DÉFINITION 9.5 Soient (E, dE) et (F, dp) deux espaces métriques, D un
sous-ensemble de E et f une application de D dans F.
X On dit que f est continue en xo E D si
Ve E IR� 377 E IR� \lx ED (dE(x,xo) � 77 ===? dp(f(x), f(xo)) � e).
X On dit que f est continue sur D si pour tout xo E D, f est continue en xo .
Étant donné deux espaces métriques (E, dE) et (F, dp ), on note C 0 (D, F) l'ensemble des applications continues de D dans F où D est un sous-ensemble de E.
<12> Voir la définition 7.11 p. 382.