Séries numériques
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Exercice 1.8
1 - On appelle série trigonométrique toute série dont le terme général est
de la forme Œnei n t où (an)n est une suite réelle ou complexe et t un réel.
Donner une condition nécessaire et suffisante (portant sur la suite (an)n)
pour qu'une série trigonométrique soit absolument convergente.
2 - On appelle série alternée une série réelle dont le terme général est de
la forme (-Irén ou de la forme (-1r +i én où (én)n désigne une suite de
réels positifs. Donner une condition nécessaire et suffisante (portant sur la
suite (én)n) pour qu'une série alternée soit absolument convergente.
PROPOSITION 1.11 To ute série numérique absolument convergente est une
série convergente.
Démonstration Par définition, la série numenque E n Un est absolument
convergente si la série E n lunl converge. Mais si la série En lunl converge,
11
.
J: •
• '
d c h ( a 4 )
e e sat1S!a1t au cntere e auc y
n
'v' éE�+ 3N EN V(n,m) EN2 (n�m�N===? ILlukl l ::;; é ) . (7)
k=m
Pour tout (m, n) E N2 avec n � m, on obtient en utilisant l'inégalité triangulaire
1 t uk j ::;; t l ukl = 1 t lukll·
k=m
k=m
k=m
On déduit alors de l'assertion (7) que
n
'v' éE�+ 3NEN V(n,m) EN2 (n � m �N===? , L uk, ::;; €) .
k=m
Ceci signifie que la série numérique E n Un satisfait au critère de Cauchy <34> .
Elle est donc convergente.
D
Si la série numérique En Un est absolument convergente, alors la série E n Un
converge. Il n'y a toutefois pas de relation directe entre la somme v de la
série E n lunl et la somme µ de la série E n Un. En particulier, on n'a pas
lµI = v, comme le prouve l'exemple qui suit (il est toutefois facile d'établir
que l µI ::;; v) .
<34> voir le théorème 1.1 p. 9.