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Séries absolument convergentes
1.3 Séries absolument convergentes
Lors de l'étude de la nature d'une série numérique L n Un dont les termes ne
sont pas de signe constant, la première étape consiste à considérer la série numérique de terme général lunl· Cette série est à termes positifs et les critères
de la section 1.2 permettent d'en étudier la nature. Si la série L n lunl converge
alors on pourra affirmer que la série L n Un converge aussi (voir la proposition 1.11). Par contre, si la série L n lunl diverge, on ne pourra rien conclure
sur la nature de la série L n Un dont il faudra envisager l'étude en ayant recours
à des critères spécifiques qui sont présentés dans la section 1.4.
1.3.1 Généralités
DÉFINITION 1.6 La série numérique L n Un est dite absolument convergente
si la série L n lunl est une série convergente.
Remarques
1. On dit aussi que la série numérique L n Un converge absolument pour indiquer
qu'il s'agit d'une série absolument convergente.
2. Si la suite (un)n est une suite complexe, lunl désigne le module du nombre
complexe Un. Si la suite (un)n est une suite réelle, lunl désigne la valeur absolue
du nombre réel Un· Dans les deux cas, la série L n lunl est une série à termes
réels positifs.
3. La notion de convergence absolue faisant intervenir des séries à termes positifs, tous les résultats établis dans la section 1.2 peuvent (et doivent) être
utilisés pour montrer qu'une série converge absolument.
o
On note f1 ( 0C ) l'ensemble des séries numériques à coefficients dans OC absolument convergentes. Il s'agit d'un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel
E(OC) des séries numériques. En effet,
- Il est non vide car la série nulle est absolument convergente.
- Si L n Un et L n Vn sont deux séries numériques absolument convergente et
a, (3 deux scalaires alors la série a L n Un + (3 L n Vn dont le terme général
est aun + f3vn et vérifie :
Or, si L n Un et L n Vn convergent absolument, alors les séries L n lunl et
L n lvnl convergent donc la série de terme général lallunl + l fJ llvn l converge
aussi. On en déduit que L n laun + f3vn 1 converge donc que L n aun + f3vn
qui est absolument convergente appartient à f1 ( 0C ) .
C33l La constante d'Euler, moins connue que e ou 71", fait partie de ces nombres qui interviennent souvent et dans des situations variées en mathématiques. A ce jour, on sait très
peu de choses sur cette constante : on ne sait pas si elle est irrationnelle, algébrique
ou transcendante. En 1781, Leonhard Euler avait obtenu les 16 premières décimales
de 'Y : 0, 5772156649015328 ...
Séries absolument convergentes
1.3 Séries absolument convergentes
Lors de l'étude de la nature d'une série numérique L n Un dont les termes ne
sont pas de signe constant, la première étape consiste à considérer la série numérique de terme général lunl· Cette série est à termes positifs et les critères
de la section 1.2 permettent d'en étudier la nature. Si la série L n lunl converge
alors on pourra affirmer que la série L n Un converge aussi (voir la proposition 1.11). Par contre, si la série L n lunl diverge, on ne pourra rien conclure
sur la nature de la série L n Un dont il faudra envisager l'étude en ayant recours
à des critères spécifiques qui sont présentés dans la section 1.4.
1.3.1 Généralités
DÉFINITION 1.6 La série numérique L n Un est dite absolument convergente
si la série L n lunl est une série convergente.
Remarques
1. On dit aussi que la série numérique L n Un converge absolument pour indiquer
qu'il s'agit d'une série absolument convergente.
2. Si la suite (un)n est une suite complexe, lunl désigne le module du nombre
complexe Un. Si la suite (un)n est une suite réelle, lunl désigne la valeur absolue
du nombre réel Un· Dans les deux cas, la série L n lunl est une série à termes
réels positifs.
3. La notion de convergence absolue faisant intervenir des séries à termes positifs, tous les résultats établis dans la section 1.2 peuvent (et doivent) être
utilisés pour montrer qu'une série converge absolument.
o
On note f1 ( 0C ) l'ensemble des séries numériques à coefficients dans OC absolument convergentes. Il s'agit d'un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel
E(OC) des séries numériques. En effet,
- Il est non vide car la série nulle est absolument convergente.
- Si L n Un et L n Vn sont deux séries numériques absolument convergente et
a, (3 deux scalaires alors la série a L n Un + (3 L n Vn dont le terme général
est aun + f3vn et vérifie :
Or, si L n Un et L n Vn convergent absolument, alors les séries L n lunl et
L n lvnl convergent donc la série de terme général lallunl + l fJ llvn l converge
aussi. On en déduit que L n laun + f3vn 1 converge donc que L n aun + f3vn
qui est absolument convergente appartient à f1 ( 0C ) .
C33l La constante d'Euler, moins connue que e ou 71", fait partie de ces nombres qui interviennent souvent et dans des situations variées en mathématiques. A ce jour, on sait très
peu de choses sur cette constante : on ne sait pas si elle est irrationnelle, algébrique
ou transcendante. En 1781, Leonhard Euler avait obtenu les 16 premières décimales
de 'Y : 0, 5772156649015328 ...