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Isométries et matrices orthogonales
Exercice 8. 7 Montrer que la matrice suivante est inversible et calculer
son inverse :
A=� (:1 ; � 2 )
-2 1 -2
Nous avons indiqué qu'il y avait une correspondance (un isomorphisme) entre
l'espace vectoriel M n (lR.) des matrices carrées de taille n à coefficients réels et
l'espace vectoriel .C(JR. n , JR. n ) des applications linéaires de JR. n dans JR. n . Il est
donc possible de traduire en terme d'applications linéaires les propriétés liées
aux matrices orthogonales.
DÉFINITION 8.20 Soient u une isométrie d'un espace euclidien E et U la
matrice de u dans une base orthonormale de E.
) associé à la matrice t u.
J< On dit qu 'un sous-ensemble F de E est stable par l'endomorphisme u (ou
par la matrice U) si pour tout x E F on a u(x) E F.
Remarque On sait que, pour une matrice A E M n (lR.) on a t ( t A) = A.
D'après la définition précédente, on en déduit que pour isométrie u d'un espace
euclidien E, on a t (tu) = u.
o
On a le lien suivant entre les sous-espaces stables par un endomorphisme et
ceux stables par l'endomorphisme adjoint.
PROPOSITION 8.26 Soient u une isométrie d'un espace euclidien E et F
un sous-ensemble de E. Si F est stable par l'endomorphisme u alors p 1- est
stable par l'endomorphisme adjoint tu.
Démonstration Considérons tine isométrie u de E et un sous-ensemble F
de E stable par u. Pour montrer que p 1- est stable par tu, il faut prouver que
Vy E E
(y E p 1==> t u(y) E p 1- ) .
Soit y E F 1- . Pour tout z E F, formons le produit scalaire ( tu(y), z) . Matriciellement, en notant U la matrice de l'endomorphisme u dans une base donnée
de E, Y et Z les vecteurs colonnes représentant y et z dans la même base,
( 91)
on a
<9 1) L'entier n correspond à la dimension de l'espace vectoriel E.