Algèbre bilinéaire
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pour tout vecteur X E � n on a llUXJl 2 = llXll 2 . La décomposition d'un vecteur X de � n dans la base canonique ( e i , ... , en) sous la forme X = L�= l Xiei
implique, par linéarité, que l'on a
Les familles { e1 , ... , en} et {Ue 1 , ... , Uen} étant toute les deux orthonormales,
on en déduit <88l que llXJl 2 = 2::: : � 1 xr et que llUXll 2 = 2::: : � 1 x;. On en conclut
que JIUXll 2 = 11x11 2 .
D
Inverser une matrice n'est en général pas très « simple » <89 ) , par contre, calculer
la transposée d'une matrice est «simple » <9 0 l . Un des avantages des matrices
orthogonales est que, d'après la proposition 8.25, leurs inverses sont leurs transposées.
Exemple Considérons la matrice
( 2/./6
u = 1/./6
-1/ ./6
0
1/./2
1/./2
1/VJ )
-1/VJ .
1/VJ
Il s'agit d'une matrice orthogonale car ses colonnes C 1 , C 2 et C 3 forment une
base orthonormée de � 3 pour le produit scalaire canonique puisque :
(C1 , C 2 ) = 0,
11c i 11 = 1 ,
(C 2 , C3) = 0,
ll C 2 ll = 1 et
(C3, C1) = 0,
ll C3 ll = 1 .
On en déduit d'après la proposition 8.25 que la matrice U est une matrice
inversible et que son inverse est donné par sa transposée :
u- 1 =
( 2 1:
1/VJ
( 88)
•
Voir la remarque p. 489.
1/ ./6
1/./2
-1/VJ
- 1/./6)
1/./2 .
1/VJ
<89 ) Le terme «s imple » fait référence ici à la complexité des algorithmes d'inversion d'une
matrice : pour calculer l'inverse d'une matrice carrée (inversible) de taille n «à la main »
il faut un nombre d'opérations (additions, multiplications) de l'ordre de n3 •
( g o ) Pour calculer la transposée d'une matrice carré de taille n, aucune opération {addition,
multiplication ... ) n'est nécessaire, il suffit seulement d'intervertir certains coefficients.