Algêbre bilinéaire
493
DÉFINITION 8.19 (Matrice orthogonale)
On appelle matrice orthogonale la matrice d'une isométrie dans une base
orthonormale d'un espace euclidien.
Comme pour l'ensemble O(E) des isométries d'un espace euclidien E, l'ensemble des matrices orthogonales de taille n, noté O n (IR), possède une structure
de groupe. Plus précisément, O n (IR) est un sous-groupe du groupe des matrice
inversible (GL n (IR), x ) . Il est appelé le groupe orthogonal.
Considérons une isométrie u d'un espace euclidien (E, (-, -)) de dimension n.
Par définition, pour tout couple de vecteurs (x, y) E E 2 , on a
(u(x), u(y)) = (x, y).
Matriciellement cette relation se traduit par :
(UX, UY)IR" = (X, Y)IR",
(22)
où les matrices colonnes X et Y correspondent aux coordonnées des vecteurs x
et y dans une base orthonormale de E, U est la matrice de l'endomorphisme u
dans cette même base, et (- , ·)IR" désigne le produit scalaire canonique sur !R n .
PROPOSITION 8.24 Pour tous vecteurs X et Y de !R n et pour toute matrice
ME M n (IR) on a
(J'vIX, Y)IRn = (X, tMY)IRn .
Démonstration Considérons deux vecteurs X et Y de !R n et une matrice
ME M n (IR). On sait c84> que (X, Y)IR" = txy et t (MX) = txt1vr. On en déduit
aisément que (JvIX, Y)IR" = (X, t MY)IR" .
D
En pratique, étant donné une matrice U E M n (IR), il n'est pas simple, à l'aide
de la définition 8.19, de déterminer si cette matrice est orthogonale ou non. On
va voir que les matrices orthogonales vérifient certaines propriétés les caractérisant.
Étant donné une matrice orthogonale U, la proposition 8.24 permet d'établir
que pour tout (X, Y) E (!R n ) 2 on a
(X, tUUY) JRn = (UX, UY)IR" = (X, Y)R" .
Le produit scalaire étant une forme bilinéaire définie, on en déduit que c8 s >
w E !R n tuuY =Y.
( 84) Voir la remarque de la p. 489.
( 85) Voir la remarque de la p. 478.
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DÉFINITION 8.19 (Matrice orthogonale)
On appelle matrice orthogonale la matrice d'une isométrie dans une base
orthonormale d'un espace euclidien.
Comme pour l'ensemble O(E) des isométries d'un espace euclidien E, l'ensemble des matrices orthogonales de taille n, noté O n (IR), possède une structure
de groupe. Plus précisément, O n (IR) est un sous-groupe du groupe des matrice
inversible (GL n (IR), x ) . Il est appelé le groupe orthogonal.
Considérons une isométrie u d'un espace euclidien (E, (-, -)) de dimension n.
Par définition, pour tout couple de vecteurs (x, y) E E 2 , on a
(u(x), u(y)) = (x, y).
Matriciellement cette relation se traduit par :
(UX, UY)IR" = (X, Y)IR",
(22)
où les matrices colonnes X et Y correspondent aux coordonnées des vecteurs x
et y dans une base orthonormale de E, U est la matrice de l'endomorphisme u
dans cette même base, et (- , ·)IR" désigne le produit scalaire canonique sur !R n .
PROPOSITION 8.24 Pour tous vecteurs X et Y de !R n et pour toute matrice
ME M n (IR) on a
(J'vIX, Y)IRn = (X, tMY)IRn .
Démonstration Considérons deux vecteurs X et Y de !R n et une matrice
ME M n (IR). On sait c84> que (X, Y)IR" = txy et t (MX) = txt1vr. On en déduit
aisément que (JvIX, Y)IR" = (X, t MY)IR" .
D
En pratique, étant donné une matrice U E M n (IR), il n'est pas simple, à l'aide
de la définition 8.19, de déterminer si cette matrice est orthogonale ou non. On
va voir que les matrices orthogonales vérifient certaines propriétés les caractérisant.
Étant donné une matrice orthogonale U, la proposition 8.24 permet d'établir
que pour tout (X, Y) E (!R n ) 2 on a
(X, tUUY) JRn = (UX, UY)IR" = (X, Y)R" .
Le produit scalaire étant une forme bilinéaire définie, on en déduit que c8 s >
w E !R n tuuY =Y.
( 84) Voir la remarque de la p. 489.
( 85) Voir la remarque de la p. 478.